Methoden der Datenanalyse - Faktorenanalyse - Versionsgeschichte

JUNGBAUER Christoph am 9. März 2023 um 08:12 Uhr

2023-03-09T08:12:39Z

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	* Erhebung von Prädiktoren für die Kreditwürdigkeit von Kunden einer Bank. Bekannt sind zahlreiche Kundenvariablen, die hoch korreltiert sind und verdichtet werden können.		* Erhebung von Prädiktoren für die Kreditwürdigkeit von Kunden einer Bank. Bekannt sind zahlreiche Kundenvariablen, die hoch korreltiert sind und verdichtet werden können.
	* Welche Fähigkeiten liegen Leistungen in Intelligenztests zugrunde? Es existieren viele verschiedene (ähnliche Tests), bei denen hochkorrelierte Leistungen zu beobachten sind. Welche (nicht beobachtbaren) Faktoren liegen diesen Leistungen zugrunde?		* Welche Fähigkeiten liegen Leistungen in Intelligenztests zugrunde? Es existieren viele verschiedene (ähnliche Tests), bei denen hochkorrelierte Leistungen zu beobachten sind. Welche (nicht beobachtbaren) Faktoren liegen diesen Leistungen zugrunde?
	Die Faktorenanalyse bedient sich nun mathematischer Verfahren, die es ermöglichen, viele, miteinander hoch korrelierende Variablen auf einige wenige, nicht korrelierenden ~~Variablen~~ umzurechnen, sodass die Information (Varianz) der Daten aber weitgehend vorhanden bleibt.		<p>Die Faktorenanalyse bedient sich nun mathematischer Verfahren, die es ermöglichen, viele, miteinander hoch korrelierende Variablen auf einige wenige, nicht korrelierenden Faktoren umzurechnen, sodass die Information (Varianz) der Daten aber weitgehend vorhanden bleibt.</p>

	{\| style="border-collapse: collapse; background-color: rgb(206, 212, 217);"		{\| style="border-collapse: collapse; background-color: rgb(206, 212, 217);"
	! width="100%" \| '''Beispiel 10 (Extrembeispiel)'''		! width="100%" \| '''Beispiel 10 (Extrembeispiel)'''

JUNGBAUER Christoph am 20. Jänner 2022 um 10:19 Uhr

2022-01-20T10:19:02Z

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Zeile 353:		Zeile 353:
	* Wieviele Faktoren müssen Sie nach dem Kaiser-Kriterium wählen?		* Wieviele Faktoren müssen Sie nach dem Kaiser-Kriterium wählen?
	* Für wieviele Faktoren würden Sie sich mittels zugehörigem Scree-Plot entscheiden?		* Für wieviele Faktoren würden Sie sich mittels zugehörigem Scree-Plot entscheiden?
	<ol style="list-style-type: decimal;" start="13">		<ol style="list-style-type: decimal;" start="3">
	<li><p>Zeichnen Sie für die ersten beiden Spalten der Matrix <math>L</math> (Abbildung 36) einen XY-Scatterplot (in R: „'''plot(x,y)'''“) und beschreiben Sie verbal das Ergebnis der Analyse.</p></li>		<li><p>Zeichnen Sie für die ersten beiden Spalten der Matrix <math>L</math> (Abbildung 36) einen XY-Scatterplot (in R: „'''plot(x,y)'''“) und beschreiben Sie verbal das Ergebnis der Analyse.</p></li>
	</ol>		</ol>

JUNGBAUER Christoph am 20. Jänner 2022 um 10:18 Uhr

2022-01-20T10:18:44Z

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	# Berechnen Sie die Residuen der reproduzierten Korrelationen in Beispiel 13 und geben Sie an, welche Korrelation am schlechtesten durch die gefundene Faktorlösung dargestellt wird.		# Berechnen Sie die Residuen der reproduzierten Korrelationen in Beispiel 13 und geben Sie an, welche Korrelation am schlechtesten durch die gefundene Faktorlösung dargestellt wird.
	~~<ol style="list-style-type: decimal;" start="12">~~		# Sie erhalten als Ergebnis einer Faktorenanalyse folgende erklärte Varianzen:
	~~<li><p>~~Sie erhalten als Ergebnis einer Faktorenanalyse folgende erklärte Varianzen:~~</p></li>~~		<blockquote>[[Datei:Mt422 a1.png\|300px\|none\|thumb]]</blockquote>
	~~</ol>~~
	<blockquote>[[~~File~~:~~media/image251~~.~~emf~~]]</blockquote>
	* Wieviele Faktoren müssen Sie nehmen, wenn Sie zumindest 90% der Varianz erklären wollen?		* Wieviele Faktoren müssen Sie nehmen, wenn Sie zumindest 90% der Varianz erklären wollen?
	* Wieviele Faktoren müssen Sie nach dem Kaiser-Kriterium wählen?		* Wieviele Faktoren müssen Sie nach dem Kaiser-Kriterium wählen?

JUNGBAUER Christoph am 20. Jänner 2022 um 10:17 Uhr

2022-01-20T10:17:23Z

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Zeile 44:		Zeile 44:
	<math>\text { Hist }=0,15 * Q+0,82 * V+A_{h}</math>		<math>\text { Hist }=0,15 * Q+0,82 * V+A_{h}</math>

	<math>&\text { Fran }=0,25 * Q+0,85 * V+A_{f}</math>		<math>\text { Fran }=0,25 * Q+0,85 * V+A_{f}</math>

	Die Noten setzen sich also mittels Linearkombination aus den beiden Intelligenzen plus einem spezifischen Faktor für das jeweilige Fach zusammen.		Die Noten setzen sich also mittels Linearkombination aus den beiden Intelligenzen plus einem spezifischen Faktor für das jeweilige Fach zusammen.

JUNGBAUER Christoph am 20. Jänner 2022 um 10:15 Uhr

2022-01-20T10:15:54Z

JUNGBAUER Christoph am 20. Jänner 2022 um 10:09 Uhr

2022-01-20T10:09:13Z

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	Wie bereits erwähnt, gibt es für <math></math> mehrere (unendlich viele) Lösungen für <math></math>, die allesamt die maximale Varianz erklären. Diese unterscheiden sich wieder durch „Drehungen“ im Raum. Das heißt, die gefundene Matrix <math></math> kann durch Multiplikation einer beliebigen <math></math>-Matrix mit orthonormalen Spalten transformiert werden, sodass die neue Matrix <math></math> den gleichen maximal erklärten Varianzanteil liefert. Dies macht man sich zunutze, um jene Lösungen für<math></math> auszuwählen, die besonders leicht zu interpretieren sind. Das ist dann möglich, wenn die Ladungen entweder nahe bei 1 oder nahe bei 0 sind. Mit anderen Worten heißt das, dass die Varianz der Koeffizienten maximiert werden soll. Die Faktorrotationsmethoden, die die Varianz der Ladungen spalten- bzw. zeilenweise maximieren, heißen Varimax bzw. Quartimax.		Wie bereits erwähnt, gibt es für <math></math> mehrere (unendlich viele) Lösungen für <math></math>, die allesamt die maximale Varianz erklären. Diese unterscheiden sich wieder durch „Drehungen“ im Raum. Das heißt, die gefundene Matrix <math></math> kann durch Multiplikation einer beliebigen <math></math>-Matrix mit orthonormalen Spalten transformiert werden, sodass die neue Matrix <math></math> den gleichen maximal erklärten Varianzanteil liefert. Dies macht man sich zunutze, um jene Lösungen für<math></math> auszuwählen, die besonders leicht zu interpretieren sind. Das ist dann möglich, wenn die Ladungen entweder nahe bei 1 oder nahe bei 0 sind. Mit anderen Worten heißt das, dass die Varianz der Koeffizienten maximiert werden soll. Die Faktorrotationsmethoden, die die Varianz der Ladungen spalten- bzw. zeilenweise maximieren, heißen Varimax bzw. Quartimax.

	{\| style="border-collapse: collapse; background-color: rgb(206, 212, 217);"		{\| style="border-collapse: collapse; background-color: rgb(206, 212, 217);"
	! width="100%" \| '''Fortsetzung Beispiel 13'''		! width="100%" \| '''Fortsetzung Beispiel 13'''

JUNGBAUER Christoph am 20. Jänner 2022 um 10:08 Uhr

2022-01-20T10:08:08Z

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JUNGBAUER Christoph am 17. Jänner 2022 um 15:02 Uhr

2022-01-17T15:02:16Z

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JUNGBAUER Christoph am 17. Jänner 2022 um 14:57 Uhr

2022-01-17T14:57:46Z

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JUNGBAUER Christoph am 17. Jänner 2022 um 11:54 Uhr

2022-01-17T11:54:09Z

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Zeile 81:		Zeile 81:
	! width="100%" \| '''Beispiel 12'''		! width="100%" \| '''Beispiel 12'''

	[[file:img1642203546153.png\|300px\|none\|thumb\|Sieben Datenpunkte im zweidimensionalen Raum,<br class="mwt-preserveHtml" data-mwt-sameline="true" data-mwt-spaces="" /><span class="mwt-placeHolder mwt-singleLinebreak mwt-slbltr mwt-hidePlaceholder" title="Non-displayed single linebreak" contenteditable="false" draggable="true"> </span>vor und nach der Achsendrehung]]		[[file:img1642203546153.png\|300px\|none\|thumb\|Sieben Datenpunkte im zweidimensionalen Raum, vor und nach der Achsendrehung]]

	Abbildung 32 zeigt sieben Datenpunkte in zwei Variablen. In der linken Abbildung kann die Varianz in X- bzw. Y-Richtung durch Normalprojektion an die jeweiligen Achsen geschätzt werden. Die Daten sind so gewählt, dass sowohl die Varianz in X- als auch in Y-Richtung gleich 1 ist. Geometrisch gesehen wird bei der Hauptachsentransformation das Koordinatensystem solange gedreht, bis die größte der Varianzen der projizierten Datenpunkte auf die neuen Achsen maximal wird. Diese Drehung entspricht in diesem Beispiel 45 Grad und führt dazu, dass die Varianz der Daten auf der Achse von links unten nach rechts oben 1,501 beträgt. Dies ist die größte erzielbare Varianz auf einer Achse. Die Werte auf der zweiten Achse weisen eine Varianz von 0,499 auf. Nachdem die Daten nur zwei Dimensionen haben, bleibt für die zweite Achse nur mehr eine Richtung. Im allgemeinen wird jedoch für die zweite Achse jene Richtung gewählt, die ihrerseits wieder die maximale Varianz liefert.		Abbildung 32 zeigt sieben Datenpunkte in zwei Variablen. In der linken Abbildung kann die Varianz in X- bzw. Y-Richtung durch Normalprojektion an die jeweiligen Achsen geschätzt werden. Die Daten sind so gewählt, dass sowohl die Varianz in X- als auch in Y-Richtung gleich 1 ist. Geometrisch gesehen wird bei der Hauptachsentransformation das Koordinatensystem solange gedreht, bis die größte der Varianzen der projizierten Datenpunkte auf die neuen Achsen maximal wird. Diese Drehung entspricht in diesem Beispiel 45 Grad und führt dazu, dass die Varianz der Daten auf der Achse von links unten nach rechts oben 1,501 beträgt. Dies ist die größte erzielbare Varianz auf einer Achse. Die Werte auf der zweiten Achse weisen eine Varianz von 0,499 auf. Nachdem die Daten nur zwei Dimensionen haben, bleibt für die zweite Achse nur mehr eine Richtung. Im allgemeinen wird jedoch für die zweite Achse jene Richtung gewählt, die ihrerseits wieder die maximale Varianz liefert.

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Zeile 36:		Zeile 36:
	<math>\text { Math }=0,80 * Q+0,20 * V+A_{m}</math>		<math>\text { Math }=0,80 * Q+0,20 * V+A_{m}</math>

	<math>\text { Phys }=0,70 * Q+0,30 * V+A_{p} </math>		<math>\text { Phys }=0,70 * Q+0,30 * V+A_{p}</math>

	<math>\text { Chem }=0,60 * Q+0,30 * V+A_{c} </math>		<math>\text { Chem }=0,60 * Q+0,30 * V+A_{c}</math>

	<math>\text { Eng }=0,20 * Q+0,80 * V+A_{e} </math>		<math>\text { Eng }=0,20 * Q+0,80 * V+A_{e}</math>

	<math>\text { Hist }=0,15 * Q+0,82 * V+A_{h} </math>		<math>\text { Hist }=0,15 * Q+0,82 * V+A_{h}</math>

	<math>&\text { Fran }=0,25 * Q+0,85 * V+A_{f} </math>		<math>&\text { Fran }=0,25 * Q+0,85 * V+A_{f}</math>

	Die Noten setzen sich also mittels Linearkombination aus den beiden Intelligenzen plus einem spezifischen Faktor für das jeweilige Fach zusammen.		Die Noten setzen sich also mittels Linearkombination aus den beiden Intelligenzen plus einem spezifischen Faktor für das jeweilige Fach zusammen.
Zeile 91:		Zeile 91:

	<math display="block">		<math display="block">
	\mathbf{L}=\left(\begin{array}{cc}		\mathbf{L}=\left(\begin{array}{cc} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{array}\right)
	\frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2}
	\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}
	\end{array}\right)
	</math>		</math>
	\|}		\|}
	Wird <math></math> gewählt, heißt das, dass die volle Varianz erklärt wird (d.h. die volle Information erhalten bleibt). Die (bei hoher Korrelation in den Daten stark) ungleiche Varianzzerlegung macht man sich aber zunutze um nun die ersten <math></math> interessierenden Achsen zu wählen und die anderen zu eliminieren. Damit erzielt man einen Kompromiss zwischen Datenreduktion und Informationsverlust. Der Anteil der Summe aller bis zur <math></math>-ten Achse erklärten Varianzen an der Gesamtzahl <math></math>der Variablen im Originaldatensatz ist der erklärte Varianzanteil. Dieser ist ein Kriterium zur Bestimmung, auf wieviele Achsen die Daten reduziert werden sollen.		Wird <math>k=p</math> gewählt, heißt das, dass die volle Varianz erklärt wird (d.h. die volle Information erhalten bleibt). Die (bei hoher Korrelation in den Daten stark) ungleiche Varianzzerlegung macht man sich aber zunutze um nun die ersten <math>k</math> interessierenden Achsen zu wählen und die anderen zu eliminieren. Damit erzielt man einen Kompromiss zwischen Datenreduktion und Informationsverlust. Der Anteil der Summe aller bis zur <math>k</math>-ten Achse erklärten Varianzen an der Gesamtzahl <math>p</math>der Variablen im Originaldatensatz ist der erklärte Varianzanteil. Dieser ist ein Kriterium zur Bestimmung, auf wieviele Achsen die Daten reduziert werden sollen.

	{\| style="border-collapse: collapse; background-color: rgb(206, 212, 217);"		{\| style="border-collapse: collapse; background-color: rgb(206, 212, 217);"
	! width="100%" \| '''Fortsetzung Beispiel 12'''		! width="100%" \| '''Fortsetzung Beispiel 12'''

	Die Varianz der Daten an der ersten transformierten Achse beträgt 1,501. Die Anzahl der Originalvariablen bzw. die Summe derer Varianzen beträgt 2. Daher beträgt der erklärte Varianzanteil bei alleiniger Datenreduktion auf eine Achse <math></math>.		Die Varianz der Daten an der ersten transformierten Achse beträgt 1,501. Die Anzahl der Originalvariablen bzw. die Summe derer Varianzen beträgt 2. Daher beträgt der erklärte Varianzanteil bei alleiniger Datenreduktion auf eine Achse <math>\frac{1.501}{2}=75 \%</math>.
	\|}		\|}
	{\| style="border-collapse: collapse; background-color: rgb(206, 212, 217);"		{\| style="border-collapse: collapse; background-color: rgb(206, 212, 217);"
Zeile 115:		Zeile 112:
	</ol>		</ol>
	\|}		\|}
	Die eben diskutierte Vorgehensweise nur <math></math> Achsen aus der transformierten Matrix zur Erklärung der Originaldaten auszuwählen, wird „Hauptkomponentenmethode“ genannt. Während bei <math></math> nur eine Lösung existiert, den gesamt erklärten Varianzanteil zu maximieren, ist die Lösung bei <math></math> gewählten Achsen nicht eindeutig. Darauf wird in Abschnitt 5.6 eingegangen.		Die eben diskutierte Vorgehensweise nur <math>k<p</math> Achsen aus der transformierten Matrix zur Erklärung der Originaldaten auszuwählen, wird „Hauptkomponentenmethode“ genannt. Während bei <math>k=p</math> nur eine Lösung existiert, den gesamt erklärten Varianzanteil zu maximieren, ist die Lösung bei <math>1<k<p</math> gewählten Achsen nicht eindeutig. Darauf wird in Abschnitt 5.6 eingegangen.

	Die Lösung der Hauptkomponentenanalyse wird im Normalfall nicht graphisch durchgeführt, sondern reduziert sich – mathematisch gesehen – auf das Finden der Eigenwerte der Korrelations- bzw. Kovarianzmatrix der Daten. Deshalb liest man statt erklärten Varianzanteilen in Software-Outputs von Faktorenanalysen auch immer wieder von Eigenwerten. Die Varianzen der Daten in den einzelnen Richtungen sind gerade durch diese Eigenwerte gegeben.		Die Lösung der Hauptkomponentenanalyse wird im Normalfall nicht graphisch durchgeführt, sondern reduziert sich – mathematisch gesehen – auf das Finden der Eigenwerte der Korrelations- bzw. Kovarianzmatrix der Daten. Deshalb liest man statt erklärten Varianzanteilen in Software-Outputs von Faktorenanalysen auch immer wieder von Eigenwerten. Die Varianzen der Daten in den einzelnen Richtungen sind gerade durch diese Eigenwerte gegeben.
Zeile 123:		Zeile 120:
	== Bestimmung der Anzahl an Faktoren ==		== Bestimmung der Anzahl an Faktoren ==

	Die wesentlichste Frage, wenn mittels Hauptkomponentenanalyse versucht wird, einen Satz von <math></math> Dimensionen – die „gemeinsamen Faktoren“ – zu ermitteln, ist, wie groß <math></math> nun sein soll. Dazu gibt es drei häufig verwendete Kriterien.		Die wesentlichste Frage, wenn mittels Hauptkomponentenanalyse versucht wird, einen Satz von <math>k<p</math> Dimensionen – die „gemeinsamen Faktoren“ – zu ermitteln, ist, wie groß <math>k</math> nun sein soll. Dazu gibt es drei häufig verwendete Kriterien.

	=== Die erklärte Varianz ===		=== Die erklärte Varianz ===
Zeile 311:		Zeile 308:
	Berechnet man nun von beiden Faktoren die Varianzen, erhält man wieder die bekannten Werte von vorhin.		Berechnet man nun von beiden Faktoren die Varianzen, erhält man wieder die bekannten Werte von vorhin.
	\|}		\|}
	Multipliziert man die Spalten der Transformationsmatrix mit der jeweiligen Standardabweichung (Abbildung 33), erhält man die Ladungsmatrix mit den Einträgen <math></math>. Diese ist insofern interessant, als hier die Korrelationen der einzelnen Variablen mit den einzelnen Faktoren abgelesen werden können. Außerdem kann dort für jede Variable die sogenannte „Kommunalität“ <math></math> ermittelt werden. Diese gibt jeweils an, wieviel Prozent der Varianz der Variable durch den gewählten Satz gemeinsamer Faktoren erklärt wird. Die Formel lautet		Multipliziert man die Spalten der Transformationsmatrix mit der jeweiligen Standardabweichung (Abbildung 33), erhält man die Ladungsmatrix mit den Einträgen <math>l_{i j}</math>. Diese ist insofern interessant, als hier die Korrelationen der einzelnen Variablen mit den einzelnen Faktoren abgelesen werden können. Außerdem kann dort für jede Variable die sogenannte „Kommunalität“ <math>h_{i}^{2}</math> ermittelt werden. Diese gibt jeweils an, wieviel Prozent der Varianz der Variable durch den gewählten Satz gemeinsamer Faktoren erklärt wird. Die Formel lautet

	<math></math>.		<math display="block">
			h_{i}^{2}=\sum_{j=1}^{k} l_{i j}^{2}
			</math>

	{\| style="border-collapse: collapse; background-color: rgb(206, 212, 217);"		{\| style="border-collapse: collapse; background-color: rgb(206, 212, 217);"
	! width="100%" \| '''Fortsetzung Beispiel 13'''		! width="100%" \| '''Fortsetzung Beispiel 13'''

	Abbildung 36 zeigt die Erzeugung der Ladungsmatrix <math></math> aus der Transformationsmatrix in R. Wir sehen, dass die ersten drei Variablen eine sehr hohe Korrelation mit dem ersten Faktor aufweisen. Haltbarkeit und Preis hingegen korrelieren mit dem zweiten gewählten Faktor zu 0,94 bzw. 0,96. Auch hier sieht man, dass ein dritter Faktor nicht mehr erforderlich ist, da hier kaum noch hohe Korrelationen zu den Variablen zu beobachten sind.		Abbildung 36 zeigt die Erzeugung der Ladungsmatrix <math>L</math> aus der Transformationsmatrix in R. Wir sehen, dass die ersten drei Variablen eine sehr hohe Korrelation mit dem ersten Faktor aufweisen. Haltbarkeit und Preis hingegen korrelieren mit dem zweiten gewählten Faktor zu 0,94 bzw. 0,96. Auch hier sieht man, dass ein dritter Faktor nicht mehr erforderlich ist, da hier kaum noch hohe Korrelationen zu den Variablen zu beobachten sind.

	Welche Variablen werden nun durch die ersten beiden Komponenten gut erklärt?		Welche Variablen werden nun durch die ersten beiden Komponenten gut erklärt?

	Die Kommunalität des „Anteils ungesättigter Fettsäuren“ beträgt z.B. <math></math>. Also werden 93,1% der Varianz der Variable „Anteil ungesättigter Fettsäuren“ durch die beiden Komponenten erklärt.		Die Kommunalität des „Anteils ungesättigter Fettsäuren“ beträgt z.B. <math>h_{1}^{2}=0,937^{2}+(-0,229)^{2}=93,1 \%</math>. Also werden 93,1% der Varianz der Variable „Anteil ungesättigter Fettsäuren“ durch die beiden Komponenten erklärt.

	[[file:img1642174987811.png\|300px\|none\|thumb\|Faktorenanalyse in R - Teil 3]]		[[file:img1642174987811.png\|300px\|none\|thumb\|Faktorenanalyse in R - Teil 3]]
Zeile 328:		Zeile 327:
	Der Kreis schließt sich nun wieder, da unser ursprüngliches Ziel war, die Korrelationsstruktur der Daten zu erklären. Wie gut das gelingt, kann durch die Matrix der durch die zwei gemeinsamen Faktoren reproduzierten Korrelationen ermittelt werden. Diese ist nun mit der ursprünglichen Korrelationsmatrix zu vergleichen.		Der Kreis schließt sich nun wieder, da unser ursprüngliches Ziel war, die Korrelationsstruktur der Daten zu erklären. Wie gut das gelingt, kann durch die Matrix der durch die zwei gemeinsamen Faktoren reproduzierten Korrelationen ermittelt werden. Diese ist nun mit der ursprünglichen Korrelationsmatrix zu vergleichen.

	Beispielsweise beträgt die Korrelation zwischen Kalorien- und Vitamingehalt ursprünglich 0,704. Aufgrund der beiden gewählten Faktoren kommt man auf eine Korrelation von 0,823. Für diese Korrelation ergibt sich daher ein Residuum von <math></math>. Die Residuen der Hauptdiagonalelemente (<math></math>) sind die durch die Faktoren nicht erklärten Varianzanteile der Variablen.		Beispielsweise beträgt die Korrelation zwischen Kalorien- und Vitamingehalt ursprünglich 0,704. Aufgrund der beiden gewählten Faktoren kommt man auf eine Korrelation von 0,823. Für diese Korrelation ergibt sich daher ein Residuum von <math>0,704-0,823=-0,119</math>. Die Residuen der Hauptdiagonalelemente (<math>\left(1-h_{i}^{2}\right)</math>) sind die durch die Faktoren nicht erklärten Varianzanteile der Variablen.
	\|}		\|}
	{\| style="border-collapse: collapse; background-color: rgb(206, 212, 217);"		{\| style="border-collapse: collapse; background-color: rgb(206, 212, 217);"
Zeile 338:		Zeile 337:
	== Faktorrotation ==		== Faktorrotation ==

	Wie bereits erwähnt, gibt es für <math></math> mehrere (unendlich viele) Lösungen für <math></math>, die allesamt die maximale Varianz erklären. Diese unterscheiden sich wieder durch „Drehungen“ im Raum. Das heißt, die gefundene Matrix <math></math> kann durch Multiplikation einer beliebigen <math></math>-Matrix mit orthonormalen Spalten transformiert werden, sodass die neue Matrix <math></math> den gleichen maximal erklärten Varianzanteil liefert. Dies macht man sich zunutze, um jene Lösungen für<math></math> auszuwählen, die besonders leicht zu interpretieren sind. Das ist dann möglich, wenn die Ladungen entweder nahe bei 1 oder nahe bei 0 sind. Mit anderen Worten heißt das, dass die Varianz der Koeffizienten maximiert werden soll. Die Faktorrotationsmethoden, die die Varianz der Ladungen spalten- bzw. zeilenweise maximieren, heißen Varimax bzw. Quartimax.		Wie bereits erwähnt, gibt es für <math>1<k<p</math> mehrere (unendlich viele) Lösungen für <math>L</math>, die allesamt die maximale Varianz erklären. Diese unterscheiden sich wieder durch „Drehungen“ im Raum. Das heißt, die gefundene Matrix <math>L</math> kann durch Multiplikation einer beliebigen <math>k \times k</math>-Matrix mit orthonormalen Spalten transformiert werden, sodass die neue Matrix <math>L^t</math> den gleichen maximal erklärten Varianzanteil liefert. Dies macht man sich zunutze, um jene Lösungen für<math>L</math> auszuwählen, die besonders leicht zu interpretieren sind. Das ist dann möglich, wenn die Ladungen entweder nahe bei 1 oder nahe bei 0 sind. Mit anderen Worten heißt das, dass die Varianz der Koeffizienten maximiert werden soll. Die Faktorrotationsmethoden, die die Varianz der Ladungen spalten- bzw. zeilenweise maximieren, heißen Varimax bzw. Quartimax.

	{\| style="border-collapse: collapse; background-color: rgb(206, 212, 217);"		{\| style="border-collapse: collapse; background-color: rgb(206, 212, 217);"
Zeile 357:		Zeile 356:
	* Für wieviele Faktoren würden Sie sich mittels zugehörigem Scree-Plot entscheiden?		* Für wieviele Faktoren würden Sie sich mittels zugehörigem Scree-Plot entscheiden?
	<ol style="list-style-type: decimal;" start="13">		<ol style="list-style-type: decimal;" start="13">
	<li><p>Zeichnen Sie für die ersten beiden Spalten der Matrix <math></math> (Abbildung 36) einen XY-Scatterplot (in R: „'''plot(x,y)'''“) und beschreiben Sie verbal das Ergebnis der Analyse.</p></li>		<li><p>Zeichnen Sie für die ersten beiden Spalten der Matrix <math>L</math> (Abbildung 36) einen XY-Scatterplot (in R: „'''plot(x,y)'''“) und beschreiben Sie verbal das Ergebnis der Analyse.</p></li>
	</ol>		</ol>