Methoden der Datenanalyse - Varianzanalyse - Versionsgeschichte

JUNGBAUER Christoph am 29. Jänner 2022 um 09:17 Uhr

2022-01-29T09:17:45Z

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JUNGBAUER Christoph am 29. Jänner 2022 um 09:15 Uhr

2022-01-29T09:15:38Z

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JUNGBAUER Christoph am 29. Jänner 2022 um 09:12 Uhr

2022-01-29T09:12:36Z

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JUNGBAUER Christoph am 17. Jänner 2022 um 14:42 Uhr

2022-01-17T14:42:55Z

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JUNGBAUER Christoph am 17. Jänner 2022 um 11:48 Uhr

2022-01-17T11:48:10Z

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JUNGBAUER Christoph am 17. Jänner 2022 um 11:47 Uhr

2022-01-17T11:47:04Z

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 {|
 ! width="100%" | '''Aufgabe 4'''
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 |}
 [[file:img1642169593358.png|300px|none|thumb|Vier Datenreihen mit je zwei Gruppen,<br class="mwt-preserveHtml" data-mwt-sameline="true" data-mwt-spaces="" /><span class="mwt-placeHolder mwt-singleLinebreak mwt-slbltr mwt-hidePlaceholder" title="Non-displayed single linebreak" contenteditable="false" draggable="true"> </span>die gut bzw. schlecht getrennt werden können]]

JUNGBAUER Christoph am 17. Jänner 2022 um 11:46 Uhr

2022-01-17T11:46:26Z

← Nächstältere Version		Version vom 17. Jänner 2022, 11:46 Uhr
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	Abbildung 11 zeigt anhand von zwei Gruppen das Problem aber auch gleichzeitig die Lösung. Ziel der Varianzanalyse ist es, herauszufinden, ob die (durchschnittliche) Lage der Beobachtungen auf dem Zahlenstrahl in beiden Gruppen gleich ist. In Fall 1 besteht zwischen Gruppe 1 und Gruppe 2 bei a und b dieselbe Mittelwertsdifferenz. Es ist aber mit freiem Auge ersichtlich, dass in Fall 1a besser zwischen den beiden Gruppen getrennt werden kann, als in Fall 1b. Grund sind die größeren Varianzen innerhalb der beiden Gruppen im Fall 1b. Bei Fall 2 streuen nun die Werte aller Gruppen gleich um ihren Mittelwert. Demnach sind die Varianzen innerhalb der Gruppen jeweils gleich. Nun kann besser zwischen jenen Gruppen getrennt werden, die den größeren Mittelwertsunterschied haben. Zusammengefasst heißt das, dass umso mehr Evidenz für eine unterschiedliche Lage der Gruppen gegeben ist, je größer die Mittelwertsdifferenz ist und je kleiner die Streuung der Werte um ihren eigenen Mittelwert ist. Im Fall von mehr als zwei Gruppen wird die Mittelwertsdifferenz einfach durch die Streuung (Varianz) der Gruppenmittelwerte ersetzt.		QT…Quadratsumme „Total“

	~~Gegenübergestellt~~ werden in der ~~Varianzanalyse also~~ die ~~Varianzen (Quadratsummen~~ <~~ref~~>~~Unter Quadratsumme~~ wird die ~~Summe von quadrierten Zahlen verstanden~~. ~~In der Varianzanalyse geht es immer um~~ die ~~Summe von quadrierten Abweichungen von Mittelwerten~~. ~~Im Prinzip~~ ist eine ~~Quadratsumme eine Varianz~~, ~~die nicht durch den Stichprobenumfang dividiert wurde~~.</ref> ~~) „innerhalb“ der Gruppen und „zwischen“ den Gruppen. Die Hilfsgrößen, um einen Test~~ für ~~oben genanntes Hypothesenpaar durchzuführen sind solche Quadratsummen. In der einfachen Varianzanalyse gilt immer folgende Quadratsummenzerlegung~~:		QI…Quadratsumme „Innerhalb“

			QZ…Quadratsumme „Zwischen“

			Die Gesamtvariabilität der Daten QT kann also in zwei additive Teile gespalten werden. Dadurch bietet sich als weitere deskriptive Größe analog zur Regressionsanalyse das Bestimmtheitsmaß an, welches als Quotient aus QZ und QT berechnet wird und wieder den Anteil an der durch das Modell erklärten Varianz an der Zielgröße angibt.

			{\|
			! width="100%" \| '''Aufgabe 4'''

			Denken Sie sich zwei Datensätze aus (je drei Gruppen mit je fünf Beobachtungen pro Gruppe). Einen, bei dem das Bestimmtheitsmaß 100% beträgt und einen, bei dem das Bestimmtheitsmaß 0% beträgt. Welche Charakteristik haben die Daten jeweils.
			\|}
			[[file:img1642169593358.png\|300px\|none\|thumb\|Vier Datenreihen mit je zwei Gruppen,<br class="mwt-preserveHtml" data-mwt-sameline="true" data-mwt-spaces="" /><span class="mwt-placeHolder mwt-singleLinebreak mwt-slbltr mwt-hidePlaceholder" title="Non-displayed single linebreak" contenteditable="false" draggable="true"> </span>die gut bzw. schlecht getrennt werden können]]

			Um nun inferenzstatistische Aussagen zu machen, wird nun die Quadratsumme „Zwischen“ nicht zur totalen Quadratsumme, sondern zur Quadratsumme „Innerhalb“ in Beziehung gesetzt. Dies liefert auch dann die Prüfgröße F <ref>Die Prüfgröße F bzw. die Prüfverteilung ist benannt nach Sir Ronald A. Fisher, der erstmals im Jahre 1935 mit Erscheinen seines Buches „The Design of Experiments“ eine ausführliche Darstellung von Varianzanalyse und Versuchsplanung veröffentlichte (Hartung, 1998, S.12).</ref> für unsere Hypothese:

	<math display="block">		<math display="block">
	\~~underbrace~~{~~\sum_~~{i=~~1}^~~{k} \~~sum_~~{j=1}~~^{n_~~{1}}~~\left(y_~~{~~i j}-~~\~~hat~~{~~\mu~~}~~\right)^~~{~~2}}_{\mathrm{QT~~}}=\~~underbrace~~{~~\sum_{i=1~~}^{k} \~~sum_~~{j=~~1}^{~~n_{1}~~}\left(y_{i j}-\hat{\mu}_{i}\right)^~~{2~~}}_{\mathrm{QI}~~}+~~\underbrace{\sum_{i=1}^{k}~~ n_{~~i}\left(\hat{\mu}_{i}-\hat{\mu~~}\right~~)^{2}}_{\mathrm{QZ}~~}		F=\frac{M Q Z}{M Q I}=\frac{\frac{1}{k-1} Q Z}{\frac{1}{N-k} Q I}=\frac{(N-k) Q Z}{(k-1) Q I} \qquad
			{\left[N=n_{1}+n_{2}+n_{3}\right]}
	</math>		</math>

JUNGBAUER Christoph am 17. Jänner 2022 um 11:46 Uhr

2022-01-17T11:46:04Z

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 <math display="block">
 \underbrace{\sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{n_{1}}\left(y_{i j}-\hat{\mu}\right)^{2}}_{\mathrm{QT}}=\underbrace{\sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{n_{1}}\left(y_{i j}-\hat{\mu}_{i}\right)^{2}}_{\mathrm{QI}}+\underbrace{\sum_{i=1}^{k} n_{i}\left(\hat{\mu}_{i}-\hat{\mu}\right)^{2}}_{\mathrm{QZ}}
 </math>

JUNGBAUER Christoph am 17. Jänner 2022 um 11:45 Uhr

2022-01-17T11:45:38Z

@@ Zeile 1: / Zeile 1: @@
 <math display="block">
 \underbrace{\sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{n_{1}}\left(y_{i j}-\hat{\mu}\right)^{2}}_{\mathrm{QT}}=\underbrace{\sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{n_{1}}\left(y_{i j}-\hat{\mu}_{i}\right)^{2}}_{\mathrm{QI}}+\underbrace{\sum_{i=1}^{k} n_{i}\left(\hat{\mu}_{i}-\hat{\mu}\right)^{2}}_{\mathrm{QZ}}
@@ Zeile 25: / Zeile 29: @@
 {\left[N=n_{1}+n_{2}+n_{3}\right]}
 </math>

JUNGBAUER Christoph am 17. Jänner 2022 um 11:45 Uhr

2022-01-17T11:45:06Z

← Nächstältere Version		Version vom 17. Jänner 2022, 11:45 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	{\|		<math display="block">
	~~! width~~="~~100%~~" ~~\| '''Fortsetzung Beispiel~~ 2~~'''~~		\underbrace{\sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{n_{1}}\left(y_{i j}-\hat{\mu}\right)^{2}}_{\mathrm{QT}}=\underbrace{\sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{n_{1}}\left(y_{i j}-\hat{\mu}_{i}\right)^{2}}_{\mathrm{QI}}+\underbrace{\sum_{i=1}^{k} n_{i}\left(\hat{\mu}_{i}-\hat{\mu}\right)^{2}}_{\mathrm{QZ}}
			</math>


			QT…Quadratsumme „Total“

			QI…Quadratsumme „Innerhalb“

			QZ…Quadratsumme „Zwischen“

			Die Gesamtvariabilität der Daten QT kann also in zwei additive Teile gespalten werden. Dadurch bietet sich als weitere deskriptive Größe analog zur Regressionsanalyse das Bestimmtheitsmaß an, welches als Quotient aus QZ und QT berechnet wird und wieder den Anteil an der durch das Modell erklärten Varianz an der Zielgröße angibt.

	~~<math display="block">\hat{\mu}=\frac{1}{7+5+6}(9+15,4+\cdots+6,8+7,3+\cdots+9,7+18+\cdots+14,1)=11,717 </math>~~
	~~<math display="block">\widehat{\alpha_{1}}=\widehat{\mu_{1}}-\hat{\mu}=\frac{1}{7}(9+15,4+\cdots+6,8)-11,717=8,771-11,717=-2,945 </math>~~
	~~<math display="block">\widehat{\alpha_{2}}=\widehat{\mu_{2}}-\hat{\mu}=\frac{1}{5}(7,3+15,6+\cdots+9,7)-11,717=11,960-11,717=0,243 </math>~~
	~~<math display="block">\widehat{\alpha_{3}}=\widehat{\mu_{3}}-\hat{\mu}=\frac{1}{6}(18+9,6+\cdots+14,1)-11,717=14,950-11,717=3,233 </math>~~
	~~Kontrolle: <math display="block">n_{1} \widehat{\alpha_{1}}+n_{2} \widehat{\alpha_{2}}+n_{3} \widehat{\alpha_{3}}=0 ? \rightarrow 7 (-2,945)+5 0,243+6 * 3,233=0</math>~~
	~~Residuum exemplarisch: <math display="block">\widehat{\varepsilon_{15}}=y_{15}-\widehat{\mu_{1}}=7,3-8,771=-1,471</math>~~
	\|}
	{\|		{\|
	! width="100%" \| '''Aufgabe 3'''		! width="100%" \| '''Aufgabe 4'''

	~~Berechnen~~ Sie ~~für alle~~ Beobachtungen ~~aus Beispiel 2 die Residuen~~ und ~~bestimmen Sie jene Beobachtung~~, ~~die durch~~ das ~~Modell am schlechtesten erklärt wird (d~~.~~h. das betragsmäßig größte Residuum aufweist)~~.		Denken Sie sich zwei Datensätze aus (je drei Gruppen mit je fünf Beobachtungen pro Gruppe). Einen, bei dem das Bestimmtheitsmaß 100% beträgt und einen, bei dem das Bestimmtheitsmaß 0% beträgt. Welche Charakteristik haben die Daten jeweils.
	\|}		\|}
	~~Die Schätzungen der einzelnen Parameter beschränken sich also immer nur auf die Berechnung von Mittelwerten und deren Differenzen~~. ~~Aus den Berechnungen von Beispiel 2 wissen wir nun beispielsweise~~, ~~dass Drahtsorte 3 eine um 3,233 Newton~~/mm<~~sup~~>2</~~sup~~> größere Zugfestigkeit als der Durchschnitt aufweist. Das bezieht sich jedoch nur auf die beobachtete Stichprobe. Damit haben wir auf die ursprüngliche Frage „Unterscheiden sich die 3 Drahtsorten bezüglich der Zugfestigkeit“ nur eine deskriptivstatistische Antwort gegeben.		[[file:img1642169593358.png\|300px\|none\|thumb\|Vier Datenreihen mit je zwei Gruppen,<br class="mwt-preserveHtml" data-mwt-sameline="true" data-mwt-spaces="" /><span class="mwt-placeHolder mwt-singleLinebreak mwt-slbltr mwt-hidePlaceholder" title="Non-displayed single linebreak" contenteditable="false" draggable="true"> </span>die gut bzw. schlecht getrennt werden können]]

	~~In der Regel ist aber von Interesse, ob wir durch die Daten genügend Evidenz dafür haben, dass sich auch die Mittelwerte der Grundgesamtheit (~~die ~~Erwartungswerte) unterscheiden. Hier ist es nun wieder erforderlich, einen statistischen Test zu berechnen~~.

	~~Das Hypothesenpaar bei~~ der ~~einfaktoriellen~~ Varianzanalyse ~~lautet folgendermaßen~~:		Um nun inferenzstatistische Aussagen zu machen, wird nun die Quadratsumme „Zwischen“ nicht zur totalen Quadratsumme, sondern zur Quadratsumme „Innerhalb“ in Beziehung gesetzt. Dies liefert auch dann die Prüfgröße F <ref>Die Prüfgröße F bzw. die Prüfverteilung ist benannt nach Sir Ronald A. Fisher, der erstmals im Jahre 1935 mit Erscheinen seines Buches „The Design of Experiments“ eine ausführliche Darstellung von Varianzanalyse und Versuchsplanung veröffentlichte (Hartung, 1998, S.12).</ref> für unsere Hypothese:

	<math display="block">		<math display="block">
	H_{0}~~: \mu_~~{1}=\~~mu_~~{2}~~=\cdots=\mu_~~{k} \~~Leftrightarrow \alpha_~~{1}~~=\alpha_~~{2}=\~~cdots=\alpha_~~{k}=0		F=\frac{M Q Z}{M Q I}=\frac{\frac{1}{k-1} Q Z}{\frac{1}{N-k} Q I}=\frac{(N-k) Q Z}{(k-1) Q I} \qquad
	~~</math>~~		{\left[N=n_{1}+n_{2}+n_{3}\right]}
	~~<math display="block">~~
	H_{1}: \~~exists(i, j):~~ \~~mu_~~{i} ~~\neq \mu_~~{j} ~~\Leftrightarrow \exists \alpha_~~{i} \~~neq 0~~
	</math>		</math>


	~~Getestet wird also~~, ~~ob alle Erwartungswerte~~ gleich ~~sind~~, ~~oder zumindest zwei Erwartungswerte existieren~~, die ~~ungleich sind~~.		Es kann gezeigt werden, dass <math>F</math> unter Gültigkeit der Nullhypothese (die Erwartungswerte aller Gruppen sind gleich) und den anderen vorher erwähnten Modellannahmen (Normalverteilung der Fehler) nach einer F-Verteilung mit <math>k-1</math> und <math>N-k</math> Freiheitsgraden verteilt ist. Dadurch werden Schranken definiert, bis zu welchen Werten von <math></math> eine Entscheidung für die Nullhypothese und ab wann eine Entscheidung für die Alternativhypothese erfolgt. Was man weiters wie bei jedem statistischen Test benötigt, ist <math>\alpha</math>, die “Irrtumswahrscheinlichkeit“ (=die Wahrscheinlichkeit, die <math>H_0</math> zu verwerfen, obwohl sie zutrifft).

	Beim t-Test (Anzur, 2007, S. 71) wurde als relevante Prüfgröße die Differenz der Mittelwerte der beiden Gruppen bezogen auf den Standardfehler der Mittelwertsdifferenz berechnet. Dieses Konzept ist nun nicht mehr möglich, da die Differenzen von mehr als zwei Gruppen berechnet werden müssten (die „mittlere“, die „maximale“, die „minimale“?). Anstelle der Differenz kommt nun das Konzept mit den Varianzen ins Spiel.		{\|
			! width="100%" \| '''Fortsetzung Beispiel 2'''

	~~Abbildung~~ 11 ~~zeigt anhand von zwei Gruppen das Problem aber auch gleichzeitig die Lösung. Ziel der Varianzanalyse ist es~~, ~~herauszufinden~~, ~~ob die~~ (~~durchschnittliche~~) ~~Lage der Beobachtungen auf dem Zahlenstrahl in beiden Gruppen gleich ist. In Fall~~ 1 ~~besteht zwischen Gruppe~~ 1 ~~und Gruppe 2 bei a und b dieselbe Mittelwertsdifferenz. Es ist aber mit freiem Auge ersichtlich~~, ~~dass in Fall 1a besser zwischen den beiden Gruppen getrennt werden kann~~, als in Fall 1b. Grund sind die größeren Varianzen innerhalb der beiden Gruppen im Fall 1b. Bei Fall 2 streuen nun die Werte aller Gruppen gleich um ihren Mittelwert. Demnach sind die Varianzen innerhalb der Gruppen jeweils gleich. Nun kann besser zwischen jenen Gruppen getrennt werden, ~~die den größeren Mittelwertsunterschied haben. Zusammengefasst heißt das~~, ~~dass umso mehr Evidenz für eine unterschiedliche Lage der Gruppen gegeben ist~~, je größer die Mittelwertsdifferenz ist und je kleiner die Streuung der Werte um ihren eigenen Mittelwert ist. Im Fall von mehr als zwei Gruppen wird die Mittelwertsdifferenz einfach durch die Streuung (Varianz) der Gruppenmittelwerte ersetzt.		<math display="block">
			Q T=(9-11,717)^{2}+\cdots(14,1-11,717)^{2}=323,105
			</math>
			<math display="block">
			Q I=(9-8,771)^{2}+\cdots+(6,8-8,771)^{2}+\cdots+(14,1-14,950)^{2}=199,361
			</math>
			<math display="block">
			Q Z=Q T-Q I=323,105-199,361=123,744
			</math>
			<math display="block">
			F=\frac{\frac{1}{3-1} * 123,744}{\frac{1}{18-3} * 199,361}=\frac{61,872}{13,291}=4,655
			</math>

	~~Gegenübergestellt werden in der Varianzanalyse also die Varianzen (Quadratsummen~~ <~~ref~~>Unter Quadratsumme wird die Summe von quadrierten Zahlen verstanden. In der Varianzanalyse geht es immer um die Summe von quadrierten Abweichungen von Mittelwerten. Im Prinzip ist eine Quadratsumme eine Varianz, die nicht durch den Stichprobenumfang dividiert wurde.</ref> ) „innerhalb“ der Gruppen und „zwischen“ den Gruppen. Die Hilfsgrößen, um einen Test für oben genanntes Hypothesenpaar durchzuführen sind solche Quadratsummen. In der einfachen Varianzanalyse gilt immer folgende Quadratsummenzerlegung:		\|-
			\|
			<br>
			\|}
			{\|
			! width="100%" \| '''Aufgabe 5'''