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JUNGBAUER Christoph am 27. September 2022 um 13:25 Uhr

2022-09-27T13:25:06Z

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	Für die 2 Richtungsableitung in Richtung <math display="inline"> \vec{v}=(\frac{3}{\sqrt{10}},\ \frac{1}{\sqrt{10}})</math> bilden wir zunächst das Matrix-Vektor Produkt:<math display="block">		Für die 2 Richtungsableitung in Richtung <math display="inline"> \vec{v}=(\frac{3}{\sqrt{10}},\ \frac{1}{\sqrt{10}})</math> bilden wir zunächst das Matrix-Vektor Produkt:<math display="block">
	\mathrm{H}_f \vec{v}=\left(\begin{array}{cc}-0.18 & 0.22 \\ 0.22 & -0.08\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\frac{3}{\sqrt{10}} \\ \frac{1}{\sqrt{10}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-0.18 \cdot \frac{3}{\sqrt{10}}+0.22 \cdot \frac{1}{\sqrt{10}} \\ 0.22 \cdot \frac{3}{\sqrt{10}}-0.08 \frac{1}{\sqrt{10}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-0.10 \\ 0.18\end{array}\right~~)(1.55~~)		\mathrm{H}_f \vec{v}=\left(\begin{array}{cc}-0.18 & 0.22 \\ 0.22 & -0.08\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\frac{3}{\sqrt{10}} \\ \frac{1}{\sqrt{10}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-0.18 \cdot \frac{3}{\sqrt{10}}+0.22 \cdot \frac{1}{\sqrt{10}} \\ 0.22 \cdot \frac{3}{\sqrt{10}}-0.08 \frac{1}{\sqrt{10}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-0.10 \\ 0.18\end{array}\right)
	</math>		</math>
	Der Vektor auf der rechten Seite hat eine anschauliche Interpretation: er gibt an, in welcher Richtung und wie stark sich der Gradient verändert, wenn wir vom Punkt <math display="inline">(1,2)</math> in der Richtung des Vektors <math display="inline">\left(\frac{3}{\sqrt{10}},\frac{1}{\sqrt{10}}\right)</math> gehen. Für die Quadratische Form wird nun das innere Produkt<math display="block">		Der Vektor auf der rechten Seite hat eine anschauliche Interpretation: er gibt an, in welcher Richtung und wie stark sich der Gradient verändert, wenn wir vom Punkt <math display="inline">(1,2)</math> in der Richtung des Vektors <math display="inline">\left(\frac{3}{\sqrt{10}},\frac{1}{\sqrt{10}}\right)</math> gehen. Für die Quadratische Form wird nun das innere Produkt<math display="block">

JUNGBAUER Christoph am 27. September 2022 um 13:23 Uhr

2022-09-27T13:23:49Z

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Zeile 355:		Zeile 355:

	Beispiel 6 (Fortsetzung): Der Gradient der Cobb-Douglas Funktion war<math display="block">		Beispiel 6 (Fortsetzung): Der Gradient der Cobb-Douglas Funktion war<math display="block">
	\nabla Y=\begin{~~pmatrix~~} ~~\frac~~{\~~partial Y}{~~\~~partial~~ L} \\~~\ \frac{\partial~~ Y~~}{\partial K}~~\end{~~pmatrix~~}=		\nabla Y=\left(\begin{array}{c}
	\begin{~~pmatrix~~} {0.~~84e}~~^{0.04}L^{-0.16}K^{0.39}\\~~\ {~~0.~~39e}~~^{0.04}L^{0.84}K^{-0.61}\end{~~pmatrix~~}		Y \\
			L \\
			Y
			\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
			0.84 e^{0.04} L^{-0.16} K^{0.39} \\
			0.39 e^{0.04} L^{0.84} K^{-0.61}
			\end{array}\right)
	</math>		</math>

JUNGBAUER Christoph am 27. September 2022 um 13:14 Uhr

2022-09-27T13:14:02Z

JUNGBAUER Christoph am 27. September 2022 um 13:12 Uhr

2022-09-27T13:12:42Z

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Zeile 174:		Zeile 174:

	<math display="block">		<math display="block">
	$\begin{aligned} \int_{x=-1}^1 p(x) \mathrm{dx} &=\int_{x=-1}^1\left(-x^4+x^3+4 x^2-4 x+2\right) \mathrm{dx}=\\ &=-\frac{x^5}{5}+\frac{x^4}{4}+\frac{4 x^3}{3}-\frac{4 x^2}{2}+\left.2 \mathrm{x}\right\|_{-1} ^1=\frac{94}{15} \end{aligned}$		\begin{aligned} \int_{x=-1}^1 p(x) \mathrm{dx} &=\int_{x=-1}^1\left(-x^4+x^3+4 x^2-4 x+2\right) \mathrm{dx}=\\ &=-\frac{x^5}{5}+\frac{x^4}{4}+\frac{4 x^3}{3}-\frac{4 x^2}{2}+\left.2 \mathrm{x}\right\|_{-1} ^1=\frac{94}{15} \end{aligned}
	</math>		</math>

JUNGBAUER Christoph am 27. September 2022 um 13:10 Uhr

2022-09-27T13:10:21Z

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Zeile 204:		Zeile 204:
	wobei <math display="inline">c</math> als Integrationskonstante bezeichnet wird. Die folgende Tabelle gibt die Stammfunktionen der wichtigsten einfachen Funktionen, wobei hier <math display="inline">a</math> jede beliebige reelle Zahl mit Ausnahme von <math display="inline">-1</math> sein kann.		wobei <math display="inline">c</math> als Integrationskonstante bezeichnet wird. Die folgende Tabelle gibt die Stammfunktionen der wichtigsten einfachen Funktionen, wobei hier <math display="inline">a</math> jede beliebige reelle Zahl mit Ausnahme von <math display="inline">-1</math> sein kann.

	<div class="center">[[]]		<div class="center">[[Datei:Tab1.JPG]]</div>

JUNGBAUER Christoph am 27. September 2022 um 13:04 Uhr

2022-09-27T13:04:31Z

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Zeile 148:		Zeile 148:
	\end{array}		\end{array}
	</math>		</math>
	Die Kettenregel kann auch in folgender Form geschrieben werden:
	<math display="block">		Die Kettenregel kann auch in folgender Form geschrieben werden:<math display="block">
	\frac{d}{{dx}}g\left(f\left(x\right)\right)=g^\prime\left(f\left(x\right)\right)\cdot f^\prime\left(x\right)		\frac{d}{{dx}}g\left(f\left(x\right)\right)=g^\prime\left(f\left(x\right)\right)\cdot f^\prime\left(x\right)
	</math>		</math>

JUNGBAUER Christoph am 23. September 2022 um 15:03 Uhr

2022-09-23T15:03:46Z

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JUNGBAUER Christoph am 23. September 2022 um 15:02 Uhr

2022-09-23T15:02:52Z

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Zeile 163:		Zeile 163:

	<math display="block">		<math display="block">
	\int_{x=-1}^{1}{p~~\left~~(x~~\right~~)\mathrm{dx} =}\int_{x=-1}^{1}{\left(-x^4+x^3+4x^2~~\mathrm{~~-4} x+2\right)\mathrm{dx} =}\\\		$\begin{aligned} \int_{x=-1}^1 p(x) \mathrm{dx} &=\int_{x=-1}^1\left(-x^4+x^3+4 x^2-4 x+2\right) \mathrm{dx}=\\ &=-\frac{x^5}{5}+\frac{x^4}{4}+\frac{4 x^3}{3}-\frac{4 x^2}{2}+\left.2 \mathrm{x}\right\|_{-1} ^1=\frac{94}{15} \end{aligned}$
	=-\frac{x^5}{5}+\frac{x^4}{4}+\frac{4x^3}{3}-\frac{4x^2}{2}+\mathrm{2x\ }\|_{-1}^1=\frac~~{\mathrm~~{94} }{\~~mathrm~~{~~15}~~}
	</math>		</math>

Zeile 230:		Zeile 229:
	E\left(X\right)=\int_{x=-\infty}^{\infty}\mathrm{xf}\left(x\right)\mathrm{dx}		E\left(X\right)=\int_{x=-\infty}^{\infty}\mathrm{xf}\left(x\right)\mathrm{dx}
	</math> Für die Exponentialverteilung (aus Aufgabe 4) erhält man <math display="block">		</math> Für die Exponentialverteilung (aus Aufgabe 4) erhält man <math display="block">
	\int_{x=0}^{\infty}x\lambda~~\mathrm{~~\ exp~~}\left~~(-\lambda x~~\right~~)\mathrm{dx}=~~\\\~~		$\int_{x=0}^{\infty} x \lambda \exp (-\lambda x) \mathrm{d} x=$
	\int_{y=0}^{\infty}y\lambda~~\mathrm{~~\ exp~~}\left~~(-\lambda y~~\right~~)\mathrm{dy}=~~\\\~~		$\int_{y=0}^{\infty} y \lambda \exp (-\lambda y) \mathrm{d} y=$
	-\frac{1}{\lambda}y~~\mathrm{~~\ exp~~}\left~~(~~\mathrm{~~-y}\right)\|_0^\infty		$-\left.\frac{1}{\lambda} y \exp (-y)\right\|_0 ^{\infty}+\frac{1}{\lambda} \int_{y=0}^{\infty} \exp (-y) \mathrm{d} y=\frac{1}{\lambda}$
	+\frac{1}{\lambda}\int_{y=0}^{\infty}~~\mathrm{~~\ exp~~}\left~~(~~\mathrm{~~-y~~}\right~~)\mathrm{dy}=\frac{1}{\lambda}		</math>
	</math~~> Die erste Gleichung erhält man mit Substitution: <math display="block"~~>		Die zweite Gleichung mittels partieller Integration: <math display="block">
	~~\left\|\begin{aligned}y=\lambda x\\\mathrm{dy}=\lambda\mathrm{dx}\\\end{aligned}\right\|~~
	~~</math>~~ Die zweite Gleichung mittels partieller Integration: <math display="block">
	f^\prime\left(y\right)=\mathrm{exp}-y, gy=y		f^\prime\left(y\right)=\mathrm{exp}-y, gy=y
	</math> Man beachte, dass <math display="block">		</math> Man beachte, dass <math display="block">
Zeile 310:		Zeile 307:

	Mathematisch ausgedrückt erhalten wir die Richtungsableitung als Produkt der Jacobi-Matrix mit dem Richtungsvektor, oder – äquivalent – als inneres Produkt des Gradientenvektors mit dem Richtungsvektor. Die folgenden Schreibweisen sind äquivalent – die letzte nicht ganz exakt aber gebräuchlich: <math display="block">		Mathematisch ausgedrückt erhalten wir die Richtungsableitung als Produkt der Jacobi-Matrix mit dem Richtungsvektor, oder – äquivalent – als inneres Produkt des Gradientenvektors mit dem Richtungsvektor. Die folgenden Schreibweisen sind äquivalent – die letzte nicht ganz exakt aber gebräuchlich: <math display="block">
	\~~left~~(0.27,\ 1.15\~~right)~~		$\begin{aligned} &(0.27,1.15)\left(\begin{array}{c}\frac{3}{\sqrt{10}} \\ \frac{1}{\sqrt{10}}\end{array}\right)=\left(\left(\begin{array}{c}1.15 \\ 0.27\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}\frac{3}{\sqrt{10}} \\ \frac{1}{\sqrt{10}}\end{array}\right)\right)=\\=&\left(\left(\begin{array}{c}1.15 \\ 0.27\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c}\frac{3}{\sqrt{10}} \\ \frac{1}{\sqrt{10}}\end{array}\right)\right)=1.15 \cdot \frac{3}{\sqrt{10}}+0.27 \cdot \frac{1}{\sqrt{10}} \end{aligned}$
	\begin{~~pmatrix~~}\frac{3}{\sqrt{10}} \\\ \frac{1}{\sqrt{10}} \end{~~pmatrix~~}		</math>
	=(\begin{~~pmatrix~~}1.15 \\\ 0.27\end{~~pmatrix~~},		Der Gradient bzw. die Jacobi-Matrix entsprechen den ersten Ableitungen von Funktion mit eindimensionalem Definitionsbereich; lassen sich einige Aussagen aus dem Eindimensionalen umformulieren – z.B. die Definition einer streng monoton wachsenden Funktion: im eindimensionalen Fall hieß das, dass die 1. Ableitung strikt positiv ist. Ebenso bezeichnen wir eine Funktion aus dem <math display="inline">\mathbb{R}^n</math> nach <math display="inline">\mathbb{R}</math> als streng monton wachsend, wenn alle partiellen Ableitungen strikt positiv sind. Ebenso können wir die Kriterien für Extremwerte ins Mehrdimensionale übertragen. Hier muss gelten: wenn eine Funktion aus dem Mehrdimensionalen einen Extremwert in einem Punkt hat, so müssen in diesem Punkt alle partiellen Ableitungen 0 sein – dann sind auch alle Richtungsableitungen in beliebiger Richtung 0; allerdings war das Verschwinden der ersten Ableitung schon im Eindimensionalen eine notwendige, aber keine hinreichende Bedingung für das Vorliegen eines Extremwertes – wir mussten noch die zweite Ableitung befragen. Nun wird die Verallgemeinerung der 2. Ableitung ins mehrdimensionale allerdings formal etwas sperriger werden und zur sogenannten Hesse-Matrix führen. Das Gegenstück zur ersten Ableitung war nämlich der Gradient, in dem sich die partiellen ersten Ableitungen befanden. Aus diesem gewinnen wir nun die Hessematrix, indem wir die Jacobi-Matrix von jeder Komponente dieses Gradienten bilden.
	\begin{~~pmatrix~~}\frac{3}{\sqrt{10}} \\\ \frac{1}{\sqrt{10}} \end{~~pmatrix~~})=\\\
	=(\begin{~~pmatrix~~}1.15 \\\ 0.27\end{~~pmatrix~~}\cdot
	\begin{~~pmatrix~~}\frac{3}{\sqrt{10}} \\\ \frac{1}{\sqrt{10}} \end{~~pmatrix~~})
	=1.15\cdot\frac{3}{\sqrt{10}}+0.27\cdot\frac{1}{\sqrt{10}}
	</math> Der Gradient bzw. die Jacobi-Matrix entsprechen den ersten Ableitungen von Funktion mit eindimensionalem Definitionsbereich; lassen sich einige Aussagen aus dem Eindimensionalen umformulieren – z.B. die Definition einer streng monoton wachsenden Funktion: im eindimensionalen Fall hieß das, dass die 1. Ableitung strikt positiv ist. Ebenso bezeichnen wir eine Funktion aus dem <math display="inline">\mathbb{R}^n</math> nach <math display="inline">\mathbb{R}</math> als streng monton wachsend, wenn alle partiellen Ableitungen strikt positiv sind. Ebenso können wir die Kriterien für Extremwerte ins Mehrdimensionale übertragen. Hier muss gelten: wenn eine Funktion aus dem Mehrdimensionalen einen Extremwert in einem Punkt hat, so müssen in diesem Punkt alle partiellen Ableitungen 0 sein – dann sind auch alle Richtungsableitungen in beliebiger Richtung 0; allerdings war das Verschwinden der ersten Ableitung schon im Eindimensionalen eine notwendige, aber keine hinreichende Bedingung für das Vorliegen eines Extremwertes – wir mussten noch die zweite Ableitung befragen. Nun wird die Verallgemeinerung der 2. Ableitung ins mehrdimensionale allerdings formal etwas sperriger werden und zur sogenannten Hesse-Matrix führen. Das Gegenstück zur ersten Ableitung war nämlich der Gradient, in dem sich die partiellen ersten Ableitungen befanden. Aus diesem gewinnen wir nun die Hessematrix, indem wir die Jacobi-Matrix von jeder Komponente dieses Gradienten bilden.

	Beispiel 6 (Fortsetzung): Der Gradient der Cobb-Douglas Funktion war <math display="block">		Beispiel 6 (Fortsetzung): Der Gradient der Cobb-Douglas Funktion war <math display="block">
Zeile 337:		Zeile 329:
	H_f\left(1,2\right)=\left(\begin{aligned}-0.18&0.22\\0.22&-0.08\\\end{aligned}\right)		H_f\left(1,2\right)=\left(\begin{aligned}-0.18&0.22\\0.22&-0.08\\\end{aligned}\right)
	</math> Für die 2 Richtungsableitung in Richtung <math display="inline"> \vec{v}=(\frac{3}{\sqrt{10}},\ \frac{1}{\sqrt{10}})</math> bilden wir zunächst das Matrix-Vektor Produkt: <math display="block">		</math> Für die 2 Richtungsableitung in Richtung <math display="inline"> \vec{v}=(\frac{3}{\sqrt{10}},\ \frac{1}{\sqrt{10}})</math> bilden wir zunächst das Matrix-Vektor Produkt: <math display="block">
	~~H_f~~\vec{v}=\left(\begin{~~aligned~~}-0.18 \:0.22\\0.22\:-0.08\\\end{~~aligned~~}\right)		$\mathrm{H}_f \vec{v}=\left(\begin{array}{cc}-0.18 & 0.22 \\ 0.22 & -0.08\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\frac{3}{\sqrt{10}} \\ \frac{1}{\sqrt{10}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-0.18 \cdot \frac{3}{\sqrt{10}}+0.22 \cdot \frac{1}{\sqrt{10}} \\ 0.22 \cdot \frac{3}{\sqrt{10}}-0.08 \frac{1}{\sqrt{10}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-0.10 \\ 0.18\end{array}\right)(1.55)$
	\begin{~~pmatrix~~}\frac{3}{\sqrt{10}}\\\ \frac{1}{\sqrt{10}}\end{~~pmatrix~~}=		</math>
	\begin{~~pmatrix~~} -0.18\cdot\frac{3}{\sqrt{10}}+0.22\cdot\frac{1}{\sqrt{10}} \\\ 0.22\cdot\frac{3}{\sqrt{10}}-0.08\frac{1}{\sqrt{10}}		Der Vektor auf der rechten Seite hat eine anschauliche Interpretation: er gibt an, in welcher Richtung und wie stark sich der Gradient verändert, wenn wir vom Punkt <math display="inline">(1,2)</math> in der Richtung des Vektors <math display="inline">\left(\frac{3}{\sqrt{10}},\frac{1}{\sqrt{10}}\right)</math> gehen. Für die Quadratische Form wird nun das innere Produkt <math display="block">
	\end{~~pmatrix~~} =\begin{~~pmatrix~~} -0.10 \\\ 0.18\end{~~pmatrix~~}
	</math> Der Vektor auf der rechten Seite hat eine anschauliche Interpretation: er gibt an, in welcher Richtung und wie stark sich der Gradient verändert, wenn wir vom Punkt <math display="inline">(1,2)</math> in der Richtung des Vektors <math display="inline">\left(\frac{3}{\sqrt{10}},\frac{1}{\sqrt{10}}\right)</math> gehen. Für die Quadratische Form wird nun das innere Produkt <math display="block">
	\begin{pmatrix}\frac{3}{\sqrt{10}}\\\ \frac{1}{\sqrt{10}}\end{pmatrix}.		\begin{pmatrix}\frac{3}{\sqrt{10}}\\\ \frac{1}{\sqrt{10}}\end{pmatrix}.
	\begin{pmatrix} -0.10 \\\ 0.18\end{pmatrix}		\begin{pmatrix} -0.10 \\\ 0.18\end{pmatrix}

JUNGBAUER Christoph am 23. September 2022 um 14:58 Uhr

2022-09-23T14:58:49Z

← Nächstältere Version		Version vom 23. September 2022, 14:58 Uhr
Zeile 136:		Zeile 136:
	\end{array}		\end{array}
	</math>		</math>
			Die Kettenregel kann auch in folgender Form geschrieben werden:
	<math display="block">		<math display="block">
	\frac{d}{{dx}}g\left(f\left(x\right)\right)=g^\prime\left(f\left(x\right)\right)\cdot f^\prime\left(x\right)		\frac{d}{{dx}}g\left(f\left(x\right)\right)=g^\prime\left(f\left(x\right)\right)\cdot f^\prime\left(x\right)
	</math> Durch konsequente Anwendung dieser Regeln lassen sich bereits viele praktische Aufgaben lösen.		</math>

			Durch konsequente Anwendung dieser Regeln lassen sich bereits viele praktische Aufgaben lösen.

	Aufgabe 3 Differenziere folgende Funktionen und überprüfe das Ergebnis mit Maxima! <math display="block">		Aufgabe 3 Differenziere folgende Funktionen und überprüfe das Ergebnis mit Maxima! <math display="block">

JUNGBAUER Christoph am 23. September 2022 um 14:57 Uhr

2022-09-23T14:57:19Z

← Nächstältere Version		Version vom 23. September 2022, 14:57 Uhr
Zeile 135:		Zeile 135:
	Kettenregel: (g \circ f)^{\prime}=\left(g^{\prime} \circ f\right) \cdot f^{\prime \prime} \\		Kettenregel: (g \circ f)^{\prime}=\left(g^{\prime} \circ f\right) \cdot f^{\prime \prime} \\
	\end{array}		\end{array}
			</math>
	<math display="block">		<math display="block">
	\frac{d}{{dx}}g\left(f\left(x\right)\right)=g^\prime\left(f\left(x\right)\right)\cdot f^\prime\left(x\right)		\frac{d}{{dx}}g\left(f\left(x\right)\right)=g^\prime\left(f\left(x\right)\right)\cdot f^\prime\left(x\right)

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Zeile 254:		Zeile 254:

	Für die Exponentialverteilung (aus Aufgabe 4) erhält man<math display="block">		Für die Exponentialverteilung (aus Aufgabe 4) erhält man<math display="block">
	$\int_{x=0}^{\infty} x \lambda \exp (-\lambda x) \mathrm{d} x=$		\int_{x=0}^{\infty} x \lambda \exp (-\lambda x) \mathrm{d} x=
	$\int_{y=0}^{\infty} y \lambda \exp (-\lambda y) \mathrm{d} y=$		\int_{y=0}^{\infty} y \lambda \exp (-\lambda y) \mathrm{d} y=
	$-\left.\frac{1}{\lambda} y \exp (-y)\right\|_0 ^{\infty}+\frac{1}{\lambda} \int_{y=0}^{\infty} \exp (-y) \mathrm{d} y=\frac{1}{\lambda}$		-\left.\frac{1}{\lambda} y \exp (-y)\right\|_0 ^{\infty}+\frac{1}{\lambda} \int_{y=0}^{\infty} \exp (-y) \mathrm{d} y=\frac{1}{\lambda}
	</math>		</math>
	Die zweite Gleichung mittels partieller Integration:<math display="block">		Die zweite Gleichung mittels partieller Integration:<math display="block">
Zeile 350:		Zeile 350:

	Mathematisch ausgedrückt erhalten wir die Richtungsableitung als Produkt der Jacobi-Matrix mit dem Richtungsvektor, oder – äquivalent – als inneres Produkt des Gradientenvektors mit dem Richtungsvektor. Die folgenden Schreibweisen sind äquivalent – die letzte nicht ganz exakt aber gebräuchlich:<math display="block">		Mathematisch ausgedrückt erhalten wir die Richtungsableitung als Produkt der Jacobi-Matrix mit dem Richtungsvektor, oder – äquivalent – als inneres Produkt des Gradientenvektors mit dem Richtungsvektor. Die folgenden Schreibweisen sind äquivalent – die letzte nicht ganz exakt aber gebräuchlich:<math display="block">
	$\begin{aligned} &(0.27,1.15)\left(\begin{array}{c}\frac{3}{\sqrt{10}} \\ \frac{1}{\sqrt{10}}\end{array}\right)=\left(\left(\begin{array}{c}1.15 \\ 0.27\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}\frac{3}{\sqrt{10}} \\ \frac{1}{\sqrt{10}}\end{array}\right)\right)=\\=&\left(\left(\begin{array}{c}1.15 \\ 0.27\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c}\frac{3}{\sqrt{10}} \\ \frac{1}{\sqrt{10}}\end{array}\right)\right)=1.15 \cdot \frac{3}{\sqrt{10}}+0.27 \cdot \frac{1}{\sqrt{10}} \end{aligned}$		\begin{aligned} &(0.27,1.15)\left(\begin{array}{c}\frac{3}{\sqrt{10}} \\ \frac{1}{\sqrt{10}}\end{array}\right)=\left(\left(\begin{array}{c}1.15 \\ 0.27\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}\frac{3}{\sqrt{10}} \\ \frac{1}{\sqrt{10}}\end{array}\right)\right)=\\=&\left(\left(\begin{array}{c}1.15 \\ 0.27\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c}\frac{3}{\sqrt{10}} \\ \frac{1}{\sqrt{10}}\end{array}\right)\right)=1.15 \cdot \frac{3}{\sqrt{10}}+0.27 \cdot \frac{1}{\sqrt{10}} \end{aligned}
	</math>		</math>
	Der Gradient bzw. die Jacobi-Matrix entsprechen den ersten Ableitungen von Funktion mit eindimensionalem Definitionsbereich; lassen sich einige Aussagen aus dem Eindimensionalen umformulieren – z.B. die Definition einer streng monoton wachsenden Funktion: im eindimensionalen Fall hieß das, dass die 1. Ableitung strikt positiv ist. Ebenso bezeichnen wir eine Funktion aus dem <math display="inline">\mathbb{R}^n</math> nach <math display="inline">\mathbb{R}</math> als streng monton wachsend, wenn alle partiellen Ableitungen strikt positiv sind. Ebenso können wir die Kriterien für Extremwerte ins Mehrdimensionale übertragen. Hier muss gelten: wenn eine Funktion aus dem Mehrdimensionalen einen Extremwert in einem Punkt hat, so müssen in diesem Punkt alle partiellen Ableitungen 0 sein – dann sind auch alle Richtungsableitungen in beliebiger Richtung 0; allerdings war das Verschwinden der ersten Ableitung schon im Eindimensionalen eine notwendige, aber keine hinreichende Bedingung für das Vorliegen eines Extremwertes – wir mussten noch die zweite Ableitung befragen. Nun wird die Verallgemeinerung der 2. Ableitung ins mehrdimensionale allerdings formal etwas sperriger werden und zur sogenannten Hesse-Matrix führen. Das Gegenstück zur ersten Ableitung war nämlich der Gradient, in dem sich die partiellen ersten Ableitungen befanden. Aus diesem gewinnen wir nun die Hessematrix, indem wir die Jacobi-Matrix von jeder Komponente dieses Gradienten bilden.		Der Gradient bzw. die Jacobi-Matrix entsprechen den ersten Ableitungen von Funktion mit eindimensionalem Definitionsbereich; lassen sich einige Aussagen aus dem Eindimensionalen umformulieren – z.B. die Definition einer streng monoton wachsenden Funktion: im eindimensionalen Fall hieß das, dass die 1. Ableitung strikt positiv ist. Ebenso bezeichnen wir eine Funktion aus dem <math display="inline">\mathbb{R}^n</math> nach <math display="inline">\mathbb{R}</math> als streng monton wachsend, wenn alle partiellen Ableitungen strikt positiv sind. Ebenso können wir die Kriterien für Extremwerte ins Mehrdimensionale übertragen. Hier muss gelten: wenn eine Funktion aus dem Mehrdimensionalen einen Extremwert in einem Punkt hat, so müssen in diesem Punkt alle partiellen Ableitungen 0 sein – dann sind auch alle Richtungsableitungen in beliebiger Richtung 0; allerdings war das Verschwinden der ersten Ableitung schon im Eindimensionalen eine notwendige, aber keine hinreichende Bedingung für das Vorliegen eines Extremwertes – wir mussten noch die zweite Ableitung befragen. Nun wird die Verallgemeinerung der 2. Ableitung ins mehrdimensionale allerdings formal etwas sperriger werden und zur sogenannten Hesse-Matrix führen. Das Gegenstück zur ersten Ableitung war nämlich der Gradient, in dem sich die partiellen ersten Ableitungen befanden. Aus diesem gewinnen wir nun die Hessematrix, indem wir die Jacobi-Matrix von jeder Komponente dieses Gradienten bilden.
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	Für die 2 Richtungsableitung in Richtung <math display="inline"> \vec{v}=(\frac{3}{\sqrt{10}},\ \frac{1}{\sqrt{10}})</math> bilden wir zunächst das Matrix-Vektor Produkt:<math display="block">		Für die 2 Richtungsableitung in Richtung <math display="inline"> \vec{v}=(\frac{3}{\sqrt{10}},\ \frac{1}{\sqrt{10}})</math> bilden wir zunächst das Matrix-Vektor Produkt:<math display="block">
	$\mathrm{H}_f \vec{v}=\left(\begin{array}{cc}-0.18 & 0.22 \\ 0.22 & -0.08\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\frac{3}{\sqrt{10}} \\ \frac{1}{\sqrt{10}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-0.18 \cdot \frac{3}{\sqrt{10}}+0.22 \cdot \frac{1}{\sqrt{10}} \\ 0.22 \cdot \frac{3}{\sqrt{10}}-0.08 \frac{1}{\sqrt{10}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-0.10 \\ 0.18\end{array}\right)(1.55)$		\mathrm{H}_f \vec{v}=\left(\begin{array}{cc}-0.18 & 0.22 \\ 0.22 & -0.08\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\frac{3}{\sqrt{10}} \\ \frac{1}{\sqrt{10}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-0.18 \cdot \frac{3}{\sqrt{10}}+0.22 \cdot \frac{1}{\sqrt{10}} \\ 0.22 \cdot \frac{3}{\sqrt{10}}-0.08 \frac{1}{\sqrt{10}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-0.10 \\ 0.18\end{array}\right)(1.55)
	</math>		</math>
	Der Vektor auf der rechten Seite hat eine anschauliche Interpretation: er gibt an, in welcher Richtung und wie stark sich der Gradient verändert, wenn wir vom Punkt <math display="inline">(1,2)</math> in der Richtung des Vektors <math display="inline">\left(\frac{3}{\sqrt{10}},\frac{1}{\sqrt{10}}\right)</math> gehen. Für die Quadratische Form wird nun das innere Produkt<math display="block">		Der Vektor auf der rechten Seite hat eine anschauliche Interpretation: er gibt an, in welcher Richtung und wie stark sich der Gradient verändert, wenn wir vom Punkt <math display="inline">(1,2)</math> in der Richtung des Vektors <math display="inline">\left(\frac{3}{\sqrt{10}},\frac{1}{\sqrt{10}}\right)</math> gehen. Für die Quadratische Form wird nun das innere Produkt<math display="block">