Methoden der Datenanalyse - Varianzanalyse

Abbildung 11 zeigt anhand von zwei Gruppen das Problem aber auch gleichzeitig die Lösung. Ziel der Varianzanalyse ist es, herauszufinden, ob die (durch­schnittliche) Lage der Beobachtungen auf dem Zahlenstrahl in beiden Gruppen gleich ist. In Fall 1 besteht zwischen Gruppe 1 und Gruppe 2 bei a und b dieselbe Mittelwertsdifferenz. Es ist aber mit freiem Auge ersichtlich, dass in Fall 1a besser zwischen den beiden Gruppen getrennt werden kann, als in Fall 1b. Grund sind die größeren Varianzen innerhalb der beiden Gruppen im Fall 1b. Bei Fall 2 streuen nun die Werte aller Gruppen gleich um ihren Mittelwert. Demnach sind die Varianzen innerhalb der Gruppen jeweils gleich. Nun kann besser zwischen jenen Gruppen getrennt werden, die den größeren Mittelwertsunterschied haben. Zusammen­gefasst heißt das, dass umso mehr Evidenz für eine unterschiedliche Lage der Gruppen gegeben ist, je größer die Mittelwertsdifferenz ist und je kleiner die Streuung der Werte um ihren eigenen Mittelwert ist. Im Fall von mehr als zwei Gruppen wird die Mittelwertsdifferenz einfach durch die Streuung (Varianz) der Gruppenmittelwerte ersetzt.

Gegenübergestellt werden in der Varianzanalyse also die Varianzen (Quadrat­summen ) „innerhalb“ der Gruppen und „zwischen“ den Gruppen. Die Hilfsgrößen, um einen Test für oben genanntes Hypothesenpaar durchzuführen sind solche Quadrat­summen. In der einfachen Varianzanalyse gilt immer folgende Quadratsummenzerlegung:

$$\underbrace {\sum _{i=1}^{k}\sum _{j=1}^{n_{1}}\left(y_{ij}-{\hat {\mu }}\right)^{2}} _{\mathrm {QT} }=\underbrace {\sum _{i=1}^{k}\sum _{j=1}^{n_{1}}\left(y_{ij}-{\hat {\mu }}_{i}\right)^{2}} _{\mathrm {QI} }+\underbrace {\sum _{i=1}^{k}n_{i}\left({\hat {\mu }}_{i}-{\hat {\mu }}\right)^{2}} _{\mathrm {QZ} }$$