Methoden der Datenanalyse - Strukturgleichungsmodelle

Strukturgleichungsmodelle

Die abschließende Lektion dient vor allem als Ausblick, wie die bestehenden Verfahren kombiniert bzw. erweitert werden können. Dies geschieht in der Theorie hinter Strukturgleichungsmodellen. Die Basiskomponenten und deren Darstellung, sowie eine überblicksartige Beschreibung des Prozesses vom Aufstellen von Hypothesen bis zur Schätzung des gewählten Modells sind Kernpunkt und Ziel dieser letzten Lektion.

Einführung und Begriffsabgrenzung

Die Strukturgleichungsmodelle stellen eine Kombination zweier in diesem Skriptum behandelter Verfahren dar. Wie in der Faktorenanalyse soll hier eine Korrelationsstruktur von manifesten Variablen durch latente Faktoren erklärt werden. Weiters sollen aber die Beziehungen zwischen verschiedenen latenten Faktoren durch regressionsanalytische Methoden festgestellt werden. Das ist hier gewissermaßen die Besonderheit. Wichtig ist dabei, dass die Art des kausalen Zusammenhanges identifiziert wird. Daher werden derartige Methoden auch als Kausalanalyse bezeichnet. Andere Bezeichnungen sind „Kovarianzstrukturanalyse“ oder auch Pfadanalyse, wobei letztere ein Spezialfall ist, da dort nur manifeste Variablen („Indikatoren“) im Kausalmodell zugelassen sind. Daher steht die Pfadanalyse auch der schon besprochenen Regressionsanalyse näher. Die „Latent Structure Analyse“ – ein ebenfalls verwandter Begriff – ist hingegen eine übergeordnete Bezeichnung für Verfahren, die auch diskrete, ordinale oder sogar dichotome Variablen zulassen.

Die Feststellung der Kausalität ist wichtig, da eine hohe Korrelation nur für „immer wenn, dann“ und nicht notwendig für „deswegen, weil“ steht. Mögliche Entsprechungen einer hohen Korrelation zwischen zwei Variablen X und Y können sein (vgl. Bortz, 1999, S. 226):

• X beeinflusst Y kausal
• Y beeinflusst X kausal
• X und Y werden von einer dritten Variable kausal beeinflusst
• X und Y beeinflussen sich wechselseitig kausal

Im Rahmen von Strukturgleichungsmodellen wird die Faktorenanalyse konfirmatorisch (im Gegensatz zur exploratorischen FA in Lektion 5) durchgeführt, d.h. es wird bereits konkret unterstellt von welchen latenten Variablen die manifesten abhängen. Mehr als bei anderen Verfahren ist der Anwender hier – auch in Hinblick auf Identifizierbarkeit und Eindeutigkeit der Schätzungen – gefordert, sich zu überlegen, welcher Art die Zusammenhänge sein könnten. Es fließen hier sehr viele unbekannte Größen in die Modellierung ein.

In der folgenden Darstellung geht es weniger um den komplexen mathematischen Hintergrund der Methode – dies würde den Rahmen deutlich sprengen – sondern um die Vorstellung der Idee dahinter.

Grundlagen und Beispiele

Modelldarstellung, Terminologie und Notation

Die Datengrundlage für die Analyse mittels Strukturgleichungsmodellen sind wie in der Faktorenanalyse Kovarianzen bzw. Korrelationen zwischen den beobachtbaren Variablen. Output des Verfahrens sind wieder Modellparameter, zu denen in diesem Fall auch Signifikanzen berechnet werden können. Es kann also (wie übrigens auch bei der Regression) statistisch getestet werden, welche Parameter überzufällig von Null verschieden sind. Das Modell gilt dann als durch die Daten “bestätigt”, wenn sich die Korrelationen durch die Modellparameter (direkte oder indirekte Pfadkoeffizienten) rekonstruieren lässt.

Die Modelle werden üblicherweise in Pfaddiagrammen dargestellt, wobei die Variablen als Knoten und die Wirkungen zwischen den Variablen als Kanten eingezeichnet werden. Manifeste Variablen („Indikatoren“) werden oft als Rechtecke und latente Variablen („Faktoren“) als Ellipsen gezeichnet. Abbildung 37 zeigt die Regressionsanalyse und die Faktorenanalyse als solches Pfaddiagramm. Für jeden Pfeil wird in den Verfahren ein Parameter geschätzt.

Pfaddiagramm einer einfachen Regression (links) und einer Faktorenanalyse (rechts)

Die Erweiterung der Regressions- und Faktorenanalyse zu allgemeinen Struktur­gleichungsmodellen besteht nun darin, dass Wirkungen zwischen latenten Variablen untersucht werden können, also auch „Pfeile zwischen Ellipsen“ zugelassen werden. Beispielsweise könnte man daran interessiert sein, inwiefern die Einstellung zu einem Produkt das Kaufverhalten beeinflusst. Die latente Variable „Einstellung zum Produkt“ kann durch verschiedene psychologische Einstellungsskalen z.B. mittels Fragebogen (manifest) erhoben werden, das Kaufverhalten womöglich am ehesten durch die Zahl der Käufe (manifest). Abbildung 38 zeigt das Pfaddiagramm eines solchen Modells (Backhaus et al., 2003).

Die dort dargestellte Struktur ist prototypisch für die Darstellung von Strukturgleichungsmodellen. Die Komponenten sind einerseits die Messmodelle der latenten Variablen. In ihnen wird spezifiziert, in welcher Form die entscheidenden latenten Variablen von den manifesten abhängen, also wie das, was von Interesse ist, gemessen wird. Es werden die latent endogenen Variablen (Zielvariablen, erklärten Variablen) und die latent exogenen Variablen (erklärenden Variablen) unterschieden. Die zweite Komponente ist das Strukturmodell, das angibt, wie die latenten Variablen untereinander zusammenhängen. Im vorliegenden Fall ist die Einstellung die verursachende Variable und das Kaufverhalten die davon abhängige Variable. Ein vollständiges Strukturgleichungsmodell besteht immer aus einem Strukturmodell und zwei Messmodellen.

Pfaddiagramm eines Strukturgleichungsmodells

Wie in Abbildung 38 ersichtlich, müssen auch die in den Gleichungen vorkommenden Fehler- bzw. Residualvariablen eingetragen werden. Hierfür werden die griechischen Buchstaben $\delta$ („Delta“; Fehlerterm für Indikatoren der exogenen Variablen), $\varepsilon$ („Epsilon“; Fehlerterm für die Indikatoren der endogenen Variablen) und $\zeta$ („Zeta“; Fehlerterm für die latenten endogenen Variablen) verwendet. $\xi$ („Ksi“) und $\eta$ („Eta“) stehen für die latenten Variablen selbst.

Aus der Darstellung der Wirkweise der Variablen zueinander folgen die resultierenden Gleichungen, die im Zuge der Analyse geschätzt werden müssen. Für das Beispiel in Abbildung 38 bedeutet das konkret:

$X_{1}=\lambda _{x1}*\xi _{1}+\delta _{1}$

$X_{2}=\lambda _{x2}*\xi _{1}+\delta _{2}$

$Y_{1}=\lambda _{y1}*\eta _{1}+\varepsilon _{1}$

$\eta _{1}=\gamma *\xi _{1}+\zeta$

Auf die übliche Notation in Matrixschreibweise wird an dieser Stelle verzichtet. Man beachte, dass in den Gleichungen lediglich $X_{1}$, $X_{2}$ und $X_{3}$ bekannt sind. Die Möglichkeit, die $\lambda$- und $\gamma$-Parameter dennoch zu schätzen ergibt sich aus der Erweiterung der einfachen Korrelation (vgl. Anzur, 2007) zur „partiellen Korrelation“.

Wichtig ist hier, nochmals zu betonen, dass die Zusammenhänge und das daraus resultierende Gleichungssystem aus intensiven sachlogischen Überlegungen zustandekommen sollen. Dies erleichtert im Anschluss an die Parameterschätzungen das Auffinden etwaiger Widersprüche.

Partielle Korrelation

Um zu widerlegen, dass zwei Variablen, $X$ und $Y$, vollständig kausal miteinander in Zusammenhang stehen, muss eine Korrelation zwischen den beiden Variablen unter Ausschaltung potentieller Störvariablen berechnet werden. Im Falle einer Störvariable $Z$ kann dies durch Berechnung der „partiellen Korrelation zwischen $X$ und $Y$ unter Auspartialisierung von $Z^{\prime \prime }$“ mittels folgender Formel erreicht werden:

$$r_{XY,Z}={\frac {r_{XY}-r_{XZ}r_{YZ}}{\sqrt {\left(1-r_{XZ}^{2}\right)*\left(1-r_{YZ}^{2}\right)}}}$$

Beispiel 14 Zwischen Pro-Kopf-BIP ($X$) und Lebenserwartung ([$Y$) sei in verschiedenen Ländern eine Korrelation von 0,57 beobachtet worden. Bekannt sind aber auch Daten über die Bildung, beispielsweise die Analphabetenquote ($Z$). Hier sei weiters bekannt $r_{XZ}=-0,43$ und $r_{YZ}=-0,76$. Will man nun den Einfluss von $Z$ ausschalten, berechnet man in Wirklichkeit so etwas wie die mittlere Korrelation zwischen $X$ und $Y$ für Gruppen von Länder, die jeweils dieselben (konstanten) Analphabetenquoten haben. Konkret ergibt sich: $$r_{XY.Z}={\frac {0,57-(-0,43)*(-0,76)}{\sqrt {\left(1-(-0,43)^{2}\right)*\left(1-(-0,76)^{2}\right)}}}=0,41$$ Der positive Zusammenhang zwischen pro-Kopf-BIP und Lebenserwartung reduziert sich bei Ausschaltung des Einflusses der Analphabetenrate und ist daher teilweise durch diese verursacht.

Das Konzept der partiellen Korrelation kann für beliebig viele auszuschaltende Variablen verallgemeinert werden.

Beispielfragestellungen

Nachdem nun das Grundprinzip und die Bauart von Strukturgleichungsmodellen skizziert wurde, sollen nun einige Beispiele deren Einsatz zeigen:

• Welche Auswirkung haben Familie und Schule auf die Schulleistung eines Kindes?
• Latente Variablen: Familie und Schule (exogen); Schulleistung (endogen)
• Indikatoren: Beruf und Schulbildung der Eltern, Ausmaß an Nachhilfe, Ausbildungsniveau des Lehrers, Wissenstest, Interessentest
• Inwieweit nehmen Rollenunsicherheit und Arbeitsmotivation eines Verkäufers Einfluss auf seine Selbstwertschätzung, seine Berufszufriedenheit und den erzielten Umsatz?
• Latente Variablen: Rollenverständnis und Arbeitsmotivation (exogen); Selbstwertschätzung, Berufszufriedenheit und Leistung (endogen)
• Indikatoren: Verschiedene Messmodelle, Umsatz
• Wie beeinflussen bestimmte Rahmenbedingungen das Interaktionsverhalten bei Verhandlungsprozessen im Investitionsgüter-Marketing?

• Latente Variablen: Kaufsituation, Unternehmensgröße (exogen); Buying Center-Struktur, Geschäftsbeziehungen, Transaktionsprozess (endogen)

• Indikatoren: Konjunktur, Produktwert, Größe, Technikerzahl (für die exogenen Variablen); Buying-Center-Größe, Umsatz, Aufträge, Verhandlungsdauer, Telefonkontakt (für die endogenen Variablen)

Durchführung

Vorgehen nach Vorliegen des Pfaddiagrammes

Nach Aufstellen von Hypothesen und der Spezifikation des Modells müssen – wie bei den meisten hier vorgestellten Verfahren – Zusatzannahmen getroffen werden. Auch hier ist die Unkorreliertheit der Fehler wieder eine entscheidende Annahme, sowohl untereinander ($\zeta$, $\varepsilon$ und $\delta$) als auch mit den jeweils zugehörigen latenten Variablen ($\zeta$ und $\delta$ mit $\xi$, sowie $\varepsilon$ mit $\eta$).

Bevor nun Parameter geschätzt werden können, ist weiters erforderlich, zu untersuchen, ob das vorliegende Gleichungssystem überhaupt gelöst werden kann. Hierfür muss sichergestellt sein, dass genügend viele Indikatoren in Bezug auf die Zahl der zu schätzenden Parameter im Modell enthalten sind. Sei $n$ die Anzahl der verwendeten Indikatorvariablen, so darf die Anzahl der zu schätzenden Parameter maximal ${\frac {n(n+1)}{2}}$ sein. Für das Pfaddiagramm in Abbildung 38 ergeben sich maximal ${\frac {1}{2}}*3*4=6$ Parameter. Daher sind die vier Parameter eindeutig schätzbar.

Parameterschätzung

Ziel ist es nun, die Parameter derart zu schätzen, dass die durch die geschätzten Parameterwerte resultierenden Kovarianzen (Korrelationen) bestmöglich zur empirischen Varianz-Kovarianz-Matrix (Korrelationsmatrix) passt. Dieses Vorgehen ist schon aus der Faktorenanalyse bekannt. Dafür, was jedoch „bestmöglich“ heißen kann, gibt es ebenfalls wieder verschiedene Vorschläge, die aber überwiegend in den wichtigsten statistischen Schätzprinzipien „Kleinste quadrierte Abweichungen“ bzw. „Maximum Likelihood“ resultieren. Kriterien für die Wahl des Verfahrens sind (lt. Adler, 1996, zitiert in Backhaus et al., 2003) die Annahme der multivariaten Normalverteilung der Daten, die Skaleninvarianz der Schätzfunktion, der erforderliche Stichprobenumfang und ob Inferenzstatistiken verfügbar sein sollen.

Inferenzstatistische Beurteilung des geschätzten Modells

Hinweise, ob das geschätzte Modell die Daten gut beschreibt gibt es einige. Zuerst sollten die Schätzergebnisse auf Plausibilität überprüft werden. Korrelationen, die betragsmäßig größer als 1 sind, negative Varianzen, Koeffizienten, deren Vorzeichen umgekehrt zum postulierten Zusammenhang sind oder nicht positiv definite Korrelationsmatrizen sind einige Indikatoren, die auf eine Fehlspezifikation des Modells hinweisen.

Ist offensichtlich keine der Minimalforderungen verletzt, kann man für dieses Setting verschiedene prototypische statistische Tests, wie beispielsweise den t-Test oder den $\chi ^{2}$-Test (Anzur, 2007) adaptieren. Während der t-Test Hypothesen über einzelne Parameter testet ([$H_{0}:\lambda _{i}=0{\text{ versus }}H_{1}:\lambda _{i}\neq 0$), führt der $\chi ^{2}$-Test einen globalen Test durch ($H_{0}$ „Die empirische Kovarianzmatrix entspricht dem Modell“ versus $H_{1}$ „Die empirische Kovarianzmatrix entspricht nicht dem Modell“).

Als Maßzahlen für die Zuverlässigkeit können außerdem noch das aus Lektion 1 bekannte Bestimmtheitsmaß (wie zuverlässig werden die latenten Variablen gemessen) sowie die paarweise Korrelationen zwischen den Parameterschätzungen angegeben werden. Falls sehr hohe Werte vorkommen, müssen einzelne Parameter entfernt werden.

All diese Prüfungen (und einige mehr) bestimmen letztendlich, ob das gewählte Modell die Daten und damit den Sachverhalt gut erklärt. Abschließend sei hier nun nochmals der Gesamtablauf während der Analyse mit Strukturgleichungsmodellen schematisch dargestellt (Reinecke, 2005, S. 11):

Ablauf der Analyse von Strukturgleichungsmodellen

Strukturgleichungsmodelle in R

Zwei häufig in der Literatur genannten Softwarepakete zur Schätzung von Strukturgleichungsmodellen sind AMOS und LISREL, jedoch können derartige Analysen auch mit R durchgeführt werden. Wir werden uns nun ein kurzes Beispiel ansehen, wie ein Modelle in R spezifiziert und geschätzt werden kann.

Beispiel 15 Die Daten stammen aus einer Untersuchung des Einflusses von Freunden („peer group“) und Familie auf den beruflichen Ehrgeiz (Duncan, Haller und Portes, 1968). In diesem einfachen Beispiel sollen die Zusammenhangsstrukturen von sechs manifesten Variablen untersucht werden. Gemessen wurde der berufliche Ehrgeiz („occupational aspiration“) der Respondenten („R“) bzw. des besten Freundes/der besten Freundin („F“) des/der Respondenten/in. Der Index korreliert u.a. mit persönliche Erfolgsorientierung, dem Selbstkonzept zur Zielerreichung und der „Wertigkeit“ des tatsächlich realisierten Berufes. Für beide „Ehrgeiz“-Variablen gibt es je zwei erklärende Variablen, den Intelligenzquotienten („IQ“) und den sozioökonomische Status („SES“) der Familie der betreffenden Person. Folgendes Pfaddiagramm (Abbildung 40) veranschaulicht das zu spezifizierende Modell: Pfaddiagramm Beispiel 15 ' . Für das Modell ergeben sich folgende Gleichungen: $${\text{ ROccAsp }}=\lambda _{51}*RIQ+\lambda _{52}*RSES+\gamma _{56}*{\text{ FOccAsp }}+\varepsilon _{7}$$ $${\text{ FOccAsp }}=\lambda _{63}*{\text{ FIQ }}+\lambda _{64}*{\text{ FSES }}+\gamma _{65}*{\text{ ROccAsp }}+\varepsilon _{8}$$ Ziel ist nun, die Koeffizienten dieser Gleichungen zu schätzen. In R kann das Modell mithilfe des Paketes „sem“ (structural bzw. simultaneous equation modeling) eingegeben werden. Abbildung 41 zeigt, wie die Matrix der Korrelationen als untere Drei­ecksmatrix in R selbst eingegeben werden kann und wie anschließend das Modell spezifiziert wird. Alle Wirkungen in den Gleichungen müssen zeilenweise eingegeben werden, sowie der Name des Koeffizienten und – falls verfügbar – ein Startwert. SEM-Analyse in R- Teil 1 Die Berechnung der Parameter erfolgt hernach durch die Funktion „sem“, die als Input das spezifizierte Modell, den Stichprobenumfang (zur Bestimmung von Signifi­kanzen) und die Information, welches die manifesten exogenen Variablen sind, verlangt. Für sie müssen keine Varianzen und Kovarianzen spezifiziert werden. Das Ergebnis wird dem Objekt „sem.DHP.1“ zugewiesen: sem.DHP.1 <- sem(model.DHP.1, R.DHP, 329,fixed.x=c('RIQ', 'RSES', 'FSES', 'FIQ')) Die Zusammenfassung des Modells erscheint mittels der generischen Funktion „summary“ (Abbildung 42). Diese kann auf die verschiedensten R-Objekte angewandt werden. Ausgegeben werden zunächst die gängigen globalen Fit-Statistiken. Der oben erwähnte $\chi ^{2}$-Test erzielt einen p-Wert von 0,245. Dieser ist größer als der übliche $\alpha$-Fehler von 0,05 und damit entscheidet der Test für die Nullhypothese, dass die Varianz-Kovarianz-Matrix der Daten durch das Modell adäquat abgebildet wird. Unterhalb stehen die t-Tests für jeden einzelnen Koeffizienten. Die p-Werte sind allesamt kleiner als 0,05, daher sind alle Koeffizienten signifikant von Null verschieden. Die geschätzten Gleichungen lauten: $$ROCCAsp=0,24*RIQ+0,18*RSES+0,40*FOCCAsp+\varepsilon _{7}$$ $$FOCCAsp=0,22*FIQ+0,31*FSES+0,42*ROCCAsp+\varepsilon _{8}$$ Als Varianzschätzungen ergeben sich: $\sigma _{7}^{2}=0,79$ und $\sigma _{8}^{2}=0,72$ Als Kovarianzschätzung für die Fehlerterme ergibt sich: $\sigma _{78}=-0,50$ SEM-Analyse in R- Teil 2

Wiederholungsaufgaben und Zusammenfassung

1. Wiederholen Sie die Schritte bei der Analyse eines Struktur­gleichungs­modells
2. Was ist ein Messmodell? Was ein Strukturmodell?
3. Zeigen Sie anhand der Bedingung für die maximale Parameteranzahl, dass das Beispiel 15 lösbar ist.

Zusammenfassung

In der statistischen Analyse mittels Strukturgleichungsmodellen (SEM) steht wie in keinem anderen der in diesem Studienheft vorgestellten Verfahren die Bildung von Hypothesen über die Wirkzusammenhänge zwischen manifesten und latenten Variablen im Vordergrund. Dieses konfirmatorische Vorgehen unterscheidet sich wesentlich von der (explorativen) Faktorenanalyse, die sich „blind“ auf die Daten stürzt. Es können komplexe Abhängigkeitsstrukturen unterstellt werden und durch ein Pfaddiagramm beschrieben werden. Dies enthält im Allgemeinen sowohl Mess­modelle für latente Variablen, als auch ein Strukturmodell für den Zusammenhang zwischen latenten Variablen. Für die Lösbarkeit des dadurch entstehenden Gleichungssystems ist es von Bedeutung, dass – bezogen auf die Zahl der zu schä­tzenden Parameter – genügend Daten in Form von Kovarianzen zwischen be­obachtbaren Merkmalen verfügbar sind. Geschätzt werden die Gleichungssysteme dann mit der in der Statistik üblichen Methode der Kleinsten-Quadrate- bzw. der Maximum-Likelihood-Schätzung. Wesentlicher Unterschied zur Faktorenanalyse ist auch, dass Hypothesen über die geschätzten Parameter getestet werden können.