Methoden der Datenanalyse - Varianzanalyse

Fortsetzung Beispiel 2 $${\hat {\mu }}={\frac {1}{7+5+6}}(9+15,4+\cdots +6,8+7,3+\cdots +9,7+18+\cdots +14,1)=11,717$$ $${\widehat {\alpha _{1}}}={\widehat {\mu _{1}}}-{\hat {\mu }}={\frac {1}{7}}(9+15,4+\cdots +6,8)-11,717=8,771-11,717=-2,945$$ $${\widehat {\alpha _{2}}}={\widehat {\mu _{2}}}-{\hat {\mu }}={\frac {1}{5}}(7,3+15,6+\cdots +9,7)-11,717=11,960-11,717=0,243$$ $${\widehat {\alpha _{3}}}={\widehat {\mu _{3}}}-{\hat {\mu }}={\frac {1}{6}}(18+9,6+\cdots +14,1)-11,717=14,950-11,717=3,233$$ Kontrolle: $$n_{1}{\widehat {\alpha _{1}}}+n_{2}{\widehat {\alpha _{2}}}+n_{3}{\widehat {\alpha _{3}}}=0?\rightarrow 7*(-2,945)+5*0,243+6*3,233=0$$ Residuum exemplarisch: $${\widehat {\varepsilon _{15}}}=y_{15}-{\widehat {\mu _{1}}}=7,3-8,771=-1,471$$

Aufgabe 3 Berechnen Sie für alle Beobachtungen aus Beispiel 2 die Residuen und bestimmen Sie jene Beobachtung, die durch das Modell am schlechtesten erklärt wird (d.h. das betragsmäßig größte Residuum aufweist).

Die Schätzungen der einzelnen Parameter beschränken sich also immer nur auf die Berechnung von Mittelwerten und deren Differenzen. Aus den Berechnungen von Beispiel 2 wissen wir nun beispielsweise, dass Drahtsorte 3 eine um 3,233 Newton/mm² größere Zugfestigkeit als der Durchschnitt aufweist. Das bezieht sich jedoch nur auf die beobachtete Stichprobe. Damit haben wir auf die ursprüngliche Frage „Unterscheiden sich die 3 Drahtsorten bezüglich der Zugfestigkeit“ nur eine deskriptivstatistische Antwort gegeben.

In der Regel ist aber von Interesse, ob wir durch die Daten genügend Evidenz dafür haben, dass sich auch die Mittelwerte der Grundgesamtheit (die Erwartungswerte) unter­scheiden. Hier ist es nun wieder erforderlich, einen statistischen Test zu berechnen.

Das Hypothesenpaar bei der einfaktoriellen Varianzanalyse lautet folgendermaßen:

$$H_{0}:\mu _{1}=\mu _{2}=\cdots =\mu _{k}\Leftrightarrow \alpha _{1}=\alpha _{2}=\cdots =\alpha _{k}=0$$

$$H_{1}:\exists (i,j):\mu _{i}\neq \mu _{j}\Leftrightarrow \exists \alpha _{i}\neq 0$$

Getestet wird also, ob alle Erwartungswerte gleich sind, oder zumindest zwei Erwartungswerte existieren, die ungleich sind.

Beim t-Test (Anzur, 2007, S. 71) wurde als relevante Prüfgröße die Differenz der Mittel­werte der beiden Gruppen bezogen auf den Standardfehler der Mittelwerts­differenz berechnet. Dieses Konzept ist nun nicht mehr möglich, da die Differenzen von mehr als zwei Gruppen berechnet werden müssten (die „mittlere“, die „maximale“, die „minimale“?). Anstelle der Differenz kommt nun das Konzept mit den Varianzen ins Spiel.

Abbildung 11 zeigt anhand von zwei Gruppen das Problem aber auch gleichzeitig die Lösung. Ziel der Varianzanalyse ist es, herauszufinden, ob die (durch­schnittliche) Lage der Beobachtungen auf dem Zahlenstrahl in beiden Gruppen gleich ist. In Fall 1 besteht zwischen Gruppe 1 und Gruppe 2 bei a und b dieselbe Mittelwertsdifferenz. Es ist aber mit freiem Auge ersichtlich, dass in Fall 1a besser zwischen den beiden Gruppen getrennt werden kann, als in Fall 1b. Grund sind die größeren Varianzen innerhalb der beiden Gruppen im Fall 1b. Bei Fall 2 streuen nun die Werte aller Gruppen gleich um ihren Mittelwert. Demnach sind die Varianzen innerhalb der Gruppen jeweils gleich. Nun kann besser zwischen jenen Gruppen getrennt werden, die den größeren Mittelwertsunterschied haben. Zusammen­gefasst heißt das, dass umso mehr Evidenz für eine unterschiedliche Lage der Gruppen gegeben ist, je größer die Mittelwertsdifferenz ist und je kleiner die Streuung der Werte um ihren eigenen Mittelwert ist. Im Fall von mehr als zwei Gruppen wird die Mittelwertsdifferenz einfach durch die Streuung (Varianz) der Gruppenmittelwerte ersetzt.

Gegenübergestellt werden in der Varianzanalyse also die Varianzen (Quadrat­summen ) „innerhalb“ der Gruppen und „zwischen“ den Gruppen. Die Hilfsgrößen, um einen Test für oben genanntes Hypothesenpaar durchzuführen sind solche Quadrat­summen. In der einfachen Varianzanalyse gilt immer folgende Quadratsummenzerlegung: