Corporate Finance - Finanzmathematische Einführung
Finanzmathematische Einführung =
Ganzjährige Verzinsung
Wenn der jährlich Zinssatz i=10% beträgt so werden aus € 100,- nach einem Jahr 100+0,1*100=110,- oder verkürzt 100*1,1=110. Allgemein kann formuliert werden, dass ein Anfangskapital K0 sich nach n Jahren bei gegebenem Zinssatz i zu einem Endkapital Kn nach folgender Formel entwickelt.
Kn = K0 * (1+i)n
Nun könnte man sich die Frage stellen bei welchem Zinssatz sich das Guthaben auf einem Sparbuch innerhalb von 10 Jahren verdoppelt.
Um dieses Problem zu lösen muss man nur obige Formel folgendermaßen umformen:
Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \sqrt[10]{(\mathrm{Kn/Ko}})-1}
Wenn es jetzt das Ziel ist, dass Kn doppelt so groß ist wie K0 dann braucht man nur für Kn 2 und für K0 1 in die Formel einzusetzen und erhält als Ergebnis für i= 0,0718 was 7,18 % entspricht.
Ein weiteres Problem welches sich in der Finanzmathematik oft stellt, ist die Frage, wie viel ein Geldbetrag den ich in der Zukunft erhalten soll heute wert ist.
Durch erneutes umformen obiger Formel gelangen wir zu:
Datei:Media/image6.wmf = Datei:Media/image7.wmf
Zur Erläuterung kommen wir kurz zu obigem Beispiel zurück: Wenn wir in 10 Jahren € 200,- erhalten sollen und bei einem Zinssatz von i = 7,18% wissen wollen wie viel dieser Betrag heute wert ist dann ergibt das folgendes Ergebnis:
Datei:Media/image8.wmf=Datei:Media/image9.wmf= 100 (gerundet)
Den Wert den ein in Zukunft fälliger Betrag heute darstellt (K0) nennt man auch Barwert während man (Kn) auch als Endwert bezeichnet.
Wenn nun aber über einen heute bereits festgelegten Zeitraum von n Jahren jeweils zum Jahresende eine Zahlung fällig wird (Rente) muss für die Berechnung des Bar- oder Endwertes jede Zahlung entsprechend ab- oder aufgezinst werden.
Sollte die Rate ewig bezahlt werden und somit keine Laufzeitbegrenzung aufweisen ergibt sich ganz einfach:
Zum besseren Verständnis ein Zahlenbeispiel:
Angabe: Sie haben im amerikanischen Lotto gewonnen, ihr Gewinnanspruch lautet folgendermaßen „ab sofort erhalten sie für die nächsten 15 Jahre jeweils am Ende des Jahres einen Geldbetrag von (umgerechnet) € 100.000,- oder eine sofortige Einmalzahlung von € 900.000,-“ Sie kalkulieren mit i=5%. Für welche der beiden Varianten werden Sie sich entscheiden?
Lösung: Der Barwert der Rente ergibt sich folgendermaßen:
Datei:Media/image11.wmf= 1.037.965,80
Da dieser Wert höher ist als die angebotene Einmalzahlung werden Sie sich für die Variante mit der Rente entscheiden.
Nun kommt aber noch eine dritte Variante ins Spiel, nämlich die Möglichkeit eines ewigen vererbbaren Rentenanspruchs in Höhe von € 49.000,- mit jährlicher Auszahlung jeweils zum Ende des Jahres.
Um jetzt zu entscheiden ob wir nun anstatt der ersten Variante welche sich gegen die zweite klar durchgesetzt hat die dritte wählen sollten müssen wir wie folgt vorgehen.
Datei:Media/image12.wmf= 980.000,-
Dieser Wert ist klar besser als die Einmalzahlung, bleibt jedoch um € 57.965,80 hinter der Variante 1 zurück weshalb sie sich für die Variante 1 entscheiden sollten.
Soeben beschriebener Zusammenhang zwischen Barwert und Rentenbetrag kann natürlich auch nach dem Rentenbetrag aufgelöst werden. Durch umformen obiger Formel erhält man die Annuitätenformel.[1]
Die Annuitätenfaktor entspricht somit dem Kehrwert der Barwertformel
Auch dazu ein Zahlenbeispiel:
Angabe: Sie haben im amerikanischen Lotto gewonnen, ihr Gewinnanspruch besteht in der sofortigen Auszahlung von (umgerechnet) € 900.000,-. Da Sie aber hinsichtlich ihres Umgangs mit so großen Geldbeträgen ein wenig skeptisch sind würden Sie die Auszahlung in 15 gleich großen Jahresraten jeweils zum Ende des Jahres bevorzugen. Wie hoch müssten diese jährlichen Zahlungen sein wenn sie mit einem Zinssatz von i=5% kalkulieren.
Lösung: Die jährliche Zahlung ergibt sich folgendermaßen:
Datei:Media/image14.wmf = 86.708,06
Die Annuitätenformel kann Ihnen aber auch bei der Lösung folgenden Problems helfen:
Angabe: Sie fragen sich welchen Betrag sie jährlich (jeweils zum Ende des Jahres) ansparen müssten um nach 20 Jahren 1 Million € zu besitzen. i=5%
Lösung: Die jährliche Zahlung ergibt sich folgendermaßen:
Datei:Media/image15.wmf = 30.242,59
Unterjährige Verzinsung
Im obigem Abschnitt Erörtertes wird in der Praxis sehr schnell an seine Grenzen stoßen da es bei Kreditinstituten nicht die Ausnahme sondern die Regel ist Zinsen nicht nur einmal im Jahr zu verrechnen oder gutzuschreiben sondern mehrmals (meist vierteljährlich). Weshalb dies in der Finanzmathematik als unterjährige Verzinsung zu berücksichtigen ist. Außerdem ist es auch üblich das Zahlungen mehrmals jährlich z. B. p Mal pro Jahr stattfinden (vierteljährlich bedeutet p=4, monatlich p=12).
Wenn Zinsen z.B. m Mal pro Jahr belastet/gutgeschrieben werden (vierteljährlich bedeutet m=4, monatlich m=12) so ergibt sich, unterjährig, der Zinssatz pro Zinsperiode als i/m.
Bezieht man nun diese Überlegung in obig gelerntes ein so ergibt sich bei unterjähriger Verzinsung Kn nach einem Jahr wie folgt:
Kn = K0*(1+i/m)m
Nach n Jahren ergibt sich folglich:
Kn = K0*(1+i/m)m*n
Auch hier wollen wir uns zum besseren Verständnis ein Zahlenbeispiel durchrechnen.
Angabe: Sie bringen am 1.1. des Jahres 1 € 100.000,- zur Bank welche Ihnen dafür 3% Zinsen bezahlt. Dies bedeutet, dass sich ihr Guthaben nach einem Jahr auf € 103.000,- beläuft. Wie wird sich ihr Guthaben bis zum Ende des Jahres 1 entwickeln wenn Sie sich mit Ihrer Bank auf eine Quartalsweise Zinsgutschrift (m=4) einigen?
Lösung: Das Guthaben am Ende des Jahres ergibt sich folgendermaßen:
Kn = 100.000*(1+0,03/4)4= 103.033,92
Es ist unschwer zu erkennen, dass es für Sie vorteilhaft ist wenn die Zinsen quartalsweise anstatt jährlich gutgeschrieben werden
Wie hätte sich ihr Anfangskapital nach Ablauf von 10 Jahren entwickelt?
Bei jährlicher Zinsgutschrift: Kn = 100.000*(1+0,03)10= 134.391,64
Bei quartalsweiser Zinsgutschrift: Kn = 100.000*(1+0,03/4)4*10=134.834,86
Bei monatlicher Zinsgutschrift: Kn = 100.000*(1+0,03/12)12*10=134.935,36
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Wiederholungsaufgaben/Übungen ==
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Wiederholungsaufgabe 1‑1: Was versteht man unter Barwert? Wiederholungsaufgabe 1‑2: Wofür benötigt man den Rentenbarwert-Faktor? Wiederholungsaufgabe 1‑3: Was ist eine Annuität? Wiederholungsaufgabe 1‑4: Wie berechnet sich der Zinssatz pro Verzinsungsperiode bei unterjähriger Verzinsung? |
Übungsbeispiel 1
Ihr Kapital beträgt € 100.000,- wie hoch wird dieses nach 7 Jahren sein wenn i=4.5% ist
Übungsbeispiel 2
Sie haben Anspruch auf eine Zahlung in der Höhe von € 75.000,- in 4 Jahren, i=5%. Wie viel müsste ihnen als sofortige Abschlagszahlung mindestens geboten werden damit sie auf diesen Anspruch verzichten.
Übungsbeispiel 3
Sie nehmen bei Ihrer Bank einen Kredit in Höhe von € 65.000 € auf und wollen diesen in 20 gleich hohen Jahresraten jeweils zum Ende jeden Jahres tilgen, i=6%.
Wie hoch ist die jährliche Annuität?
Wie hoch wäre die monatliche Annuität wenn Sie obigen Kredit monatlich jeweils zum Monatsende tilgen und die Zinsen quartalsweise verrechnet werden?
Übungsbeispiel 4
Für einen aufzunehmenden Kredit bietet ihnen Ihre Hausbank folgende Konditionen an. Kreditsumme € 100.000,-, i=4,75% fix, Laufzeit 25 Jahre, Zinsen werden quartalsweise verrechnet.
Da sie sich im Moment in einer etwas angespannten Liquiditätssituation befinden aber in 25 Jahren Zugriff auf eine Erbschaft, welche sich bereits auf einem Treuhandkonto befindet, haben vereinbaren sie mit ihrer Bank zusätzlich folgende Tilgungsmodalitäten. Sie zahlen während der gesamten Laufzeit weder Zinsen noch Tilgung sondern begleichen ihre gesamte Schuld am Ende der Laufzeit mittels einer einmaligen Zahlung.
Wie hoch wird diese Zahlung sein?
- ↑ Unter Annuität versteht man die periodisch gleich große Zahlung eines Betrages zur Tilgung einer Kapitalschuld. Da sich die Schuldsumme durch die Tilgung ständig verringert, wird die Zinsquote entsprechend kleiner und die Tilgungsquote größer.