Optimierung - TestAPI

Lokale Extrema von reellen Funktionen

Wir erinnern uns, dass für Funktionen mit einer Veränderlichen eine notwendige Bedingung für lokale Extrema darin besteht, dass die erste Ableitung verschwindet, i.e. durch Lösen der Gleichung ${\textstyle f^{\prime }\left(x\right)=0}$ erhält man mögliche Kandidaten für ein Maximum bzw. ein Minimum einer Funktion.
Beispiel 6: Betrachte das Polynom aus Beispiel 4:
${\textstyle p(x)=-x^{4}+x^{3}+4x^{2}-4x+2}$
Ableitung liefert
${\textstyle p^{\prime }(x)=-4x^{3}+3x^{2}+8x-4}$
Die Suche nach Nullstellen von ${\textstyle p^{\prime }(x)}$ liefert potenzielle Kandidaten für lokale Maxima und Minima. Für ein Polynom dritten Grades gibt es geschlossene Formeln, um die Nullstellen zu bestimmen, man erhält näherungsweise
${\textstyle x_{1}=-1.3263,x_{2}=1.6073,x_{3}=0.4691}$ Der Vergleich lässt erkennen, dass an der Stelle ${\textstyle x_{1}}$ das absolute Maximum der Funktion liegt, während es sich bei ${\textstyle x_{2}}$ um ein lokales Minimum und bei ${\textstyle x_{3}}$ um ein lokales Maximum handelt.
Bereits für eine solch einfache Funktion wie ein Polynom dritten Grades ist die Bestimmung der Nullstellen nicht ganz trivial. Für die meisten Funktionen ist eine explizite Lösung überhaupt nicht möglich, und man ist auf numerische Methoden angewiesen. Die wichtigste wird im folgenden Abschnitt vorgestellt: